LA EVOLUCIÓN DE LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS

[pic 1]EL RETADOR

Pierre de Fermat nació el 20 de agosto de 1601 en la ciudad de Beaumont-de-Lomage, al suroeste de Francia. Su padre, Dominique Fermat, era un acaudalado comerciante de pieles, así que Pierre tuvo la fortuna de disfrutar de una educación privilegiada en el monasterio franciscano de Grandselve, formación que continuo en la universidad de Toulouse. Ningún expediente del joven Fermat muestra que destacara especialmente en matemáticas.

La presión familiar condujo a Fermat a la profesión de funcionario.

LA EVOLUCIÓN DE LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Una de las pruebas por contradicción más conocidas de Euclides estableció la existencia de los llamados números irracionales. Se cree que siglos antes de la hermandad de los pitagóricos descubrió por primera vez los numero irracionales, pero el concepto fue tan aborrecido por Pitágoras que este negó su existencia.

Pitágoras hacía alusión a los números racionales, o sea, a los números enteros y a las proporciones entre ellos (fracciones). Un numero irracional no es un ni numero entero ni una fracción, y eso fue lo que horrorizo a Pitágoras. Los números irracionales son tan extraños que no pueden transcribirse como decimales; ni tan siquiera como decimales periódicos. Un decimal periódico como 0,1111111… es en realidad un numero bastante sencillo y equivalente a la fracción 1/9. El hecho de que los unos se sucedan por siempre jamás, significa que el decimal posee un patrón muy simple y regular. Esta regularidad, aunque se repite hasta el infinito, implica que el decimal puede volver a escribirse como fracción. Sin embargo, si intentamos expresar un nuero irracional en forma decimal acabamos teniendo un número que continua por siempre sin ningún patrón regular o  lógico.

[pic 2]El concepto de número irracional supuso un tremendo avance. Los matemáticos estaban buscando más allá de los numero enteros y de las fracciones y descubriendo, o tal vez inventando, otros nuevos. Leopold kronecker, matemático del siglo XIX, dijo: “dios creo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”.

[pic 3]El número irracional más popular es π. En los colegios se da a veces con la aproximación de 3+ 1/7 o como 3.14.

Sin embargo, el valor real de π es cercano a 3.14159265358979323846, pero hasta eso es una aproximación. En realidad πno puede escribirse jamás con exactitud porque sus decimales se suceden eternamente sin seguir patrón alguno, puede calcularse a través de una ecuación extremadamente regular:

π = 4(1/1- 1/3 + 1/5 – 1/7 +1/9-…

Calculando algunos de los primeros términos de la ecuación se puede alcanzar un valor bastante aproximado para π, pero si se calculan más y más se obtiene un valor cada vez más exacto. Aunque el valor de los 39 primeros decimales de π es suficiente para calcular la circunferencia del universo con una precisión del orden del radio  de un átomo de hidrogeno.

[pic 4]Es sencillo comprender ahora porque Pitágoras conspiro para ocultar la existencia de estas bestias matemáticas. Cuando Euclides oso encararse con el problema de la irracionalidad en el décimo volumen de los elementos su objetivo consistió en demostrar que existen números que jamás podrán transcribirse como fracciones.

En lugar de probar que π es un número irracional, analizo la raíz cuadrada de dos (ѵ2), es decir, el número que multiplicado por sí mismo equivale a dos. Para demostrar que ѵ2 no se puede escribir en forma de quebrado, Euclides utilizo el método de la reducción al absurdo y empezó por asumir que si es posible. Después demostró que esa fracción consiste en que, por ejemplo, la razón 8/12 se puede reducir a 4/6 si se dividen sus términos entre 2, y a su vez 4/6 se puede simplificar como 2/3 la cual ya no puede reducirse más y por tanto se dice que está en su forma  más simplificada.

[pic 5]Euclides consiguió demostrar la existencia delos números irracionales. Era la primera vez que se dotaba a los números con una cualidad nueva y más abstracta. Hasta ese momento de la historia, todos los números podía expresarse como enteros o como fracciones.

Para Pitágoras, la belleza de las matemáticas radicaba en la idea de que los números racionales (números enteros y fracciones) podían explicar todos los fenómenos naturales. Esta base filosófica oculto a Pitágoras la existencia de los números racionales.

El acto más deshonroso de Pitágoras fue negar la existencia de los números irracionales y quizá fue esta la mayor tragedia de las matemáticas griegas. Tan solo después de su muerte su pudo resucitar sin peligro a los números irracionales.

Euclides se interesó sin duda por la teoría de números, pero no fue esa su mayor aportación a las matemáticas.

El desafío consiste en calcular la duración total de la vida de Diofanto. La solución se encuentra en el apéndice 3.

[pic 6]Este acertijo es un ejemplo del tipo de problemas que gustaban  a Diofanto. Su especialidad era abordar preguntas cuyas respuestas fueran números enteros y hoy día  estas cuestiones reciben el nombre de problemas diofánticos.

De los trece libros de que constaba la Aritmética solo seis sobrevivieron a los avatares de la edad media y perduraron para inspirar a los matemáticos renacentistas, entre ellos Pierre de Fermat. Los otros siete libros se perdieron en una serie de trágicos acontecimientos que devolvieron a las matemáticas a la era babilónica.

Copiaron las fórmulas de los manuscritos griegos supervivientes y reinventaron por ellos mismos muchos de los teoremas perdidos. Apartaron nuevos elementos a las matemáticas, entre otros el número cero.

[pic 7]En las matemáticas modernas, el cero desempeña dos funciones. Primero permite distinguir entre números tales como 52 y 502. En un sistema en el que la posición de cada número denota su valor se hace necesario un símbolo para expresar una posición desocupada. Por ejemplo, la cifra 52 representa 5 veces el mismo número cien más 0 veces el diez más 2 veces el uno, y el cero es crucial para disparar cualquier ambigüedad. Incluso los babilonios en el siglo III milenio a.J.C., apreciaron la utilidad del cero para evitar confusiones y los griegos acogieron esta idea, usando para representarlo un  símbolo circular similar al que empleamos en la actualidad. En cambio, el cero posee un significado aún más sutil y profundo que solo fue valorado del todo por los matemáticos de la india varios siglos más tarde. Los hindúes otorgaron al cero una existencia independiente más allá del mero papel de espaciador entre los demás números. El cero era un número en sí mismo, representaba la cantidad de nada. Por primera vez se había atribuido una representación simbólica y tangible al concepto abstracto de nada.

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