La decisión de las integrales

∫▒〖(x^3+x-2)/x^2 dx〗

∫▒(-2/x^2 +x+1/x)dx

∫▒〖x dx+ ∫▒〖1/x dx-2∫▒〖1/x^2 dx〗〗〗

x^2/2+∫▒〖1/x dx-2∫▒〖1/x^2 dx〗〗

x^2/2+log⁡(x) -2∫▒〖1/x^2 dx〗

x^2/2+2/x+log⁡(x)+constante

Ampliamos la fracción con el denominador y luego simplificamos.

Luego repartimos la integral en cada término de la suma.

Seguido a esto aplicamos la integral de cada uno.

Finalmente obtenemos la respuesta.

∫▒〖(3x+1)〗^3/∛x dx

Para integrar ∫▒〖(3x+1)〗^3/∛x dx, vamos a sustituir u= √(3&x) y a du= 1/(3x^(2/3) )

3∫▒〖u〖(3u^3+1)〗^3 〗 du

Seguido a esto desarrollaremos el paréntesis y luego multiplicaremos por u, así:

3∫▒(〖27u〗^10+〖27u〗^7+〖9u〗^4+u)du

Por la propiedad de suma repartimos la integral y multiplicamos luego por la constante:

81∫▒〖u^10 du+∫▒〖u^7 du+27∫▒〖u^4 du〗+3∫▒〖u du〗〗〗

Haremos la integral de cada una de la suma de acuerdo al orden:

〖81u〗^11/11+∫▒〖u^7 du+27∫▒〖u^4 du〗+3∫▒〖u du〗〗

〖81u〗^8/8+〖81u〗^11/11 ∫▒〖u^4 du〗+3∫▒〖u du〗

〖27u〗^5/5+〖81u〗^8/8+〖81u〗^11/11+3∫▒〖u du〗

〖81u〗^11/11+〖81u〗^8/8+〖27u〗^5/5+〖3u〗^2/2+constante

Luego sustituyendo u= √(3&x) obtenemos:

〖81x〗^(11/3)/11+〖81x〗^(8/3)/8+〖27x〗^(5/3)/5+〖3x〗^(2/3)/2+constante

∫▒〖〖tan〗^3 (x)dx〗

Usando la fórmula de reducción, ∫▒〖〖tan〗^m (x)dx=(t〖an〗^(m-1) (x))/(m-1)〗-∫▒〖tan〗^(-2+m) (x)dx,donde m=3 resultaría lo siguiente:

(〖tan〗^2 (x))/2-∫▒〖tan⁡(x)dx〗 (*)

Bien sabemos que tan⁡(x)=(sen(x))/(cos⁡(x)), reemplazamos eso en (*)

(〖tan〗^2 (x))/2-∫▒〖(sen(x))/(cos⁡(x)) dx〗

Para integrar (sen(x))/(cos⁡(x)) vamos a utilizar las siguientes sustituciones u=cos⁡(x)y du= -sen(x)dx

(〖tan〗^2 (x))/2-∫▒〖-1/u du〗

(〖tan〗^2 (x))/2+∫▒〖1/u du〗

Resolvemos la integral de 1/u=log⁡(u)

log(u)+(〖tan〗^2 (x))/2+constante

Sustituyendo u=cos⁡(x) obtenemos lo siguiente

(〖tan〗^2 (x))/2+log(cos⁡(x))+constante

(〖sec〗^2 (x))/2+log(cos⁡(x))+constante

∫▒〖√(9∛x+2 )/∛(x^2 ) dx〗

Vamos a solucionar la integral ∫▒〖√(9∛x+2 )/∛(x^2 ) dx〗 sustituyendo a u=∛x y du=1/〖3x〗^(2/3)

3∫▒〖√(9u+2) du〗

Utilizando el mismo método anterior haremos una sustitución

s=9u+2 y ds=9

1/3 ∫▒〖√s du〗

Proseguimos integrando √s

〖2s〗^(3/2)/9+constante

Sustituimos s=9u+2

〖2(9u+2)〗^(3/2)/9+constante

Nuevamente a u=∛x

〖2(9∛x+2)〗^(3/2)/9+constante

(〖2(9√(3&x)+2)〗^(3/2) x^(2/3))/(9√(3&x^2 ))+constante

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