La definición de un determinado desarrollo integral

INTRODUCCION:

El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.

Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.

MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS

FIGURA AMORFA

SE REFIERE A QUE NO TIENE FORMA

CONOCIDA

No es un cuadrado, ni triangulo, ni nada de ese estilo.

Es una __________ o una figura de muchos lados distintos y deforme.

Su principal finalidad es encontrar en una grafica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la ____________________.

Al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las fórmulas de otras figuras.

Para un _________________(figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por triángulos.

Las figuras amorfas si tienen una forma definida.

NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA)

En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos números. Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la, _______________________.

El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas de muchos sumandos.

El nombre de esta notación se denomina de la letra griega:

Sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma"

La notación sigma :

DONDE: La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ."

Indica una suma.

K es el índice de la suma o variable de la sumatoria.

Los números 1 y n indican sus valores extremos.

NOTA: Se puede utilizar cualquier variable como índice de suma; “i , j y k.”

Entonces, la notación sigma significa una suma de términos, desde el primero hasta el n-esimo.

Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.

Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de _______________.

1.____________________.

Va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen

2. ____________________.

Es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida

Si queremos expresar la suma de los primeros diez números naturales podemos hacerlo así en notación sigma:

La letra i recibe el nombre de índice de suma, los números 1 y 10 son los límites inferior y superior de la suma

EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.

1.

∑_(i=1)^6▒i

2.

∑_(i=0)^5▒〖(i+1)〗

3.

∑_(j=3)^7▒j^2

4.

∑_(k=1)^n▒〖1/n(k^2+1)〗

5.

∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗

6.

∑_(i=1)^4▒〖i^2 (i-3)〗

7.

∑_(i=0)^3▒2^i/((i+1))

8.

∑_(i=1)^6▒2

PARA REALIZAR EN CLASE

Calcule la siguientes Series:

a.

∑_(k=1)^5▒k^2

b.

∑_(j=3)^5▒1/j

c.

∑_(i=5)^10▒i

Exprese cada suma en notación sigma:

1.

5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+〖10〗^3

2.

√3+√4+√5….√77

PROPIEDADES DE LAS SUMAS:

1. ∑_(i=1)^n▒c=cn

2.

3.

4.

5.

6.

7.

EJEMPLOS CON PROPIEDADES.

Evaluacion de una suma aplicando las propiedades. ∑_(i=1)^n▒(i+1)/n^2

SOLUCION:

1/n^2 ∑_(i=1)^n▒〖(i+1)〗 1/n^2 , factor constante fuera de la suma. (3)

1/n^2 (∑_(i=1)^n▒〖(i)〗+∑_(i=1)^n▒〖(1)〗) Escribir como dos sumas. (1)

1/n^2 ((n(n+1))/2+n) Aplicar propiedades. (4 y 7)

1/n^2 ((n^2+3n)/2) Simplificar

(n+3)/2n Simplificar

PARA REALIZAR EN CLASE:

1.

2.

3.

SUMAS DE RIEMANN

- En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva.

- Estas sumas toman su nombre del matemático alemán

- La suma de Riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una serie de fórmulas para una aproximación del área tota bajo la gráfica de una curva.

SUMA DE RIEMANN :

Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una particion de [a,b] dada por:

R_p=∑_(i=1)^n▒〖〖f(w〗_i)∆x_i 〗

DONDE: w_i=es algún numero en 〖[x〗_(i-1),x_i] para i=1,2,…..,n.

∆x_i= es el ancho del i-esimo subintervalo.

METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una suma de Riemann:

Izquierdo

Derecho

Medio

Trapezoidal.

APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANN

El área por debajo de una curva puede

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