La ecuación diferencial

Universidad Mayor de San Simón Hans Müller Santa Cruz

Facultad de Ciencias y Tecnologı́a Departamento de Mathematicas

Corrección Primer parcial de Cálculo III 1, 2, 3, 4 1 de octubre de 2018

Tabla de Respuestas

1. (40 puntos) Hallar y(ln 2), sabiendo que y es solución del problema

 00

 y − 4y 0 + 4y = ex ,

y(0) = 2,

 0

y (0) = 5.

Respuesta:

La ecuación diferencial asociada al problema es una ecuación lineal de segundo orden, cuya parte homogénea

y 00 − 4y 0 + 4y = 0

es una ecuación lineal homogénea a coeficientes constantes. Por lo tanto, el polinomio caracterı́stico está dado

por

p(λ) = λ2 − 4λ + 4 = (λ − 2).

La solución general de la ecuación lineal homogénea está dada por

y = c1 e2x + c2 xe2x .

La solución particular la encontramos por tanteo, planteando y = αex , se tiene que y = ex es una solución

particular. Por consiguiente la solución general de la ecuación lineal asociada al problema es

y = c1 e2x + c2 xe2x + ex .

Resolver el problema a valor inicial, significa encontrar los valores de c1 y c2 . Remplazamos las condiciones

iniciales,

y(0) = c1 + 1 = 2 ⇒ c1 = 1,

0

y (0) = 2 · 1 + c2 + 1 = 5 ⇒ c2 = 2.

La solución del problema a valor inicial es

y = e2x + 2xe2x + ex

y por lo tanto

y(ln 2) = e2 ln 2 + 2(ln 2)e2 ln 2 + eln 2 = 4 + 8 ln 2 + 2 = 6 + 8 ln 2.

La respuesta es y(ln 2) = 6 + 8 ln 2.

2. (30 puntos) Hallar la solución general de la ecuación diferencial

yy 00 + (y 0 )2 = 0.

Reducimos el orden de la ecuación planteando y 0 = u(y). Por consiguiente, aplicando la regla de la cadena, se

tiene

d du dy du

y 00 = u= =u .

dx dy dx dy

Remplazando en la ecuación, se obtiene:

du du du

yu + u2 = 0 ⇒ u(y + u) = 0 ⇒ u = 0 o y + u = 0.

dy dy dy

Si u = 0,se tiene y 0 = 0 y por lo tanto y = c.

Sino

du du 1 d

y +u=0⇒ = − u ⇒ u = de− ln y = .

dy dy y y

Esto significa que

d 1

y 0 = ⇒ yy 0 = d ⇒ y 2 = dx + c,

y 2

Por lo que la solución general de la ecuación es

y 2 = c1 x + c2 .

Remarcamos que cuando c1 = 0, se tiene la solución para el caso u = 0.

3. (30 puntos) Hallar la solución general de

y − xy 2

y0 =

x + x2 y

Respuesta:

Factorizemos el lado derecho de la ecuación, se tiene

y(1 − xy

y0 = ,

x(1 + xy)

planteamos z = xy, de donde z 0 = xy 0 + y, remplazamos en la ecuación diferencial

y − yz 2y 2z

z0 − y = ⇒ z0 = =

1+z 1+z x(z + 1)

ecuación de tipo separable

z+1 0 2

z = ⇒ ln z + z = ln(cx2 )

z x

de donde remplazando z = yx obtenemos

x

xy = ln(c ) ⇒ x = cyexy .

y

La respuesta es x = cyexy .

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Primer parcial de Cálculo III 1 1 de octubre de 2018

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Indicaciones: En las

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