Las Parábolas

Las Parábolas

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos una pelota de futbol o golpeamos una de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.

Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota. Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

En términos generales, se podría definir la parábola como la sección cónica que se obtiene al cortar la superficie cónica con un plano paralelo a una generatriz. Es una curva que se construye por la relación que existe entre sus puntos.

La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual. Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de televisión emitidas por un satélite. Con ella podemos ver emisoras de televisión de todas partes del mundo. Del mismo modo, la parábola también se emplea para fabricar los faros de los autos.

Historia de la parábola

1. La parábola según Menecmo

A Menecmo (360 o 350 a. de C.), es a quien se le atribuye el descubrimiento o invención de las secciones cónicas como resultado de la solución del problema de duplicación del cubo. El nombre lugar sólido, con el que se identificaba las cónicas tuvo que ver con la manera en que los griegos clasificaban las curvas (Tapia, 2002). Además, a Menecmo se le atribuye el descubrimiento a lo que se le llama parábola e hipérbola equilátera, introduce “las curvas como secciones de un cono circular recto intersectado por un plano perpendicular a una generatriz” (Tapia, 2002, p.21); uso el nombre de parábola como sinónimo para una sección cónica de un cono rectangular y con esta terminología sección de cono rectángulo que aparece con Arquímedes. Sin embargo, hacia fines del siglo IV a.c. aparecieron dos obras importantes sobre el desarrollo de las cónicas: el libro de los lugares sólidos de Aristeo, en donde aparecen las cónicas como la intersección de cilindros y conos con planos, la segunda obra también perdida, es la de Euclides, los cuatro libros, donde se encuentra la mayor parte del material sobre las cónicas de Apolonio (Tapia, 2002).

1. La parábola según Apolonio de Pérgamo

A Apolonio de Pérgamo (2600-1900 a.c.) se le atribuye que por primera vez son tomadas las secciones cónicas como secciones de un mismo cono circular, discutiendo según las propiedades geométricas obtenidas, las cuales se pueden deducir haciendo uso de “un sistema coordenado de paralelas mediante la ecuación del vértice . Aparecen en este momento los términos elipse, parábola, hipérbola (compuesta de dos “secciones complementarias” que están en relación con las construcciones equivalentes de Euclides” (Hofmann, 2002, p.38).[pic 1]

Así mismo, Apolonio encontró que “el cuadrado de la cuerda es proporcional a su distancia al vértice de su cuerda (y en los otros casos, la cuerda presenta defecto o exceso sobre aquel valor  ” (Hernández, 2002, p.41).[pic 2][pic 3]

González (s.f), argumenta que las palabras elipse, parábola e hipérbola, son términos que no eran nuevos ni acuñados por la ocasión, sino que fueron adaptados a partir de un uso anterior, quizás gracias a los pitagóricos en la solución de ecuaciones cuadráticas utilizando el método de aplicación de áreas. Al respecto se encuentra que:

“Ellipsis que significa una deficiencia y se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la palabra hipérbola (de avanzar más allá) se adoptó para el caso en que el área excedida del segmento dado, y por último la palabra parábola (de colocar al lado o comparar) indicaba que no había ni diferencia ni exceso” (p.359).

Elementos del objeto parábola.

Del análisis de la historia y de los libros de textos, permite concluir que los elementos que configuran el objeto matemático parábola son los siguientes:

• Foco (𝐹): punto fijo situado sobre el eje de simetría que se encuentra a una distancia 𝑝 del vértice.
• Vértice (𝑉): punto de intersección entre la curva y el eje de simetría, además es el punto medio entre la recta directriz y el foco.
• Eje de simetría: recta vertical que divide la figura en dos partes congruentes también es denominado eje focal.
• Directriz (𝑙): recta perpendicular al eje de simetría que se encuentra a una distancia 𝑝 del vértice, 𝑥=±𝑝 o 𝑦=±𝑝
• Distancia focal (𝑝): es la distancia entre el foco y el vértice
• Lado recto (𝐿𝑅): es una cuerda paralela a la directriz y perpendicular al eje de simetría que pasa por el foco. Su valor es cuatro veces la distancia focal.
• Cuerda: línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva.

Una parábola se puede ver cuando observamos al mundo que nos rodea, así la podemos apreciar al observar la trayectoria del chorro de agua en algunas fuentes que lanzan el agua con cierto ángulo hacia arriba.

En este trabajo nos enfocaremos en las parábolas que podemos encontrar en las ecuaciones cuadráticas.

Funciones Cuadráticas

Las parábolas de las funciones cuadráticas generalmente tienen forma de “ꓴ” (abre hacia arriba) o “ꓵ” (abre hacia abajo).

En una parábola que abre hacia arriba, su punto máximo es infinito y su punto mínimo es su vértice, y en una que abre hacia abajo, su punto máximo es su vértice:

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