Control Aro Y Bola

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

En el siguiente informe se presenta la experiencia “Control del Sistema Aro y Bola”, la cual corresponde a la quinta experiencia de la asignatura “Laboratorio de Control Automático”.

Los objetivos de esta experiencia corresponden a encontrar controladores P, PI y PD, para controlar la velocidad angular del aro y la posición angular de bola en el aro según sea necesario, por medio del análisis del modelo de la planta utilizando los parámetros encontrados en la experiencia número 3. A su vez se pretende realizar la experiencia de control, obtener los resultados correspondientes a los valores estacionarios (errores, constante de lazo cerrado, salida estacionaria, etc) y luego de esto realizar una simulación del proceso de control por medio del software Simulink por medio del cual se podrá comparar entre los resultados reales y los correspondientes a la simulación.

Para comenzar se dará a conocer el modelo de la planta:

(1)

(2)

Y a su vez se tiene la siguiente tabla con los valores de los parámetros del modelo encontrados en la tercera experiencia:

Tabla 1. Modelo Planta.

= 0.8419

= 135.68

= 0.8925

= 0.0932

= 4.21

Es necesario considerar que en el informe de la experiencia 3, correspondiente al modelado del sistema de Aro y Bola, algunos de los valores de la Tabla 1 estaban erróneos. Luego de un nuevo análisis de la experiencia se pudo obtener los nuevos valores presentados en la Tabla 1 del presente informe.

Con estos datos se realiza la sección “Trabajo Previo”, donde se encuentra de forma teórica los valores para los parámetros de los controladores P, PI y PD por medio de análisis del polinomio característico del lazo cerrado Acl(s) y también por medio de análisis del Lugar Geométrico de Raíces (LGR).

Para la sección “Trabajo en Laboratorio” se colocaron en práctica los controladores obtenidos teóricamente en la sección “Trabajo Previo”, de aquí se obtiene la parte experimental de la etapa obteniendo gráficos y datos para el respectivo controlador, y luego ser comparado con el resultado obtenido por Simulink al simular el lazo.

DESARROLLO

1. Presente los desarrollos pedidos en la sección “Trabajo Previo”.

1.1. Diseñe la ganancia Kc de un controlador P para controlar la velocidad angular del aro a partir de la medición , actuando sobre u(t) para variar el torque eléctrico del motor, sin la bola, de forma que el lazo cerrado tenga una constante de tiempo . Exprese el resultado en función de los parámetros de Gp1(s).

Se comenzará teniendo como base el uso del modelo de la planta de las ecuaciones (1) y (2), utilizando los parámetros correspondientes a la Tabla 1.

La función de transferencia que relaciona con u(t) es la siguiente:

(3)

Función que corresponde a la planta del sistema.

Para comenzar se deberá obtener el Acl(s) del sistema utilizando un controlador P.

(4)

Se necesita que la constante del lazo cerrado sea , de aquí se obtiene la siguiente relación:

(5)

(6)

Por lo tanto, el controlador P a utilizar corresponde a:

(7)

1.2. Diseñe la ganancia Kc y el tiempo de integración Ti de un controlador PI para controlar la velocidad angular del aro a partir de la medición , actuando sobre u(t) para variar el torque eléctrico del motor, sin la bola, de forma que el lazo cerrado tenga una constante de tiempo y un factor de amortiguamiento . Exprese el resultado en función de los parámetros de Gp1(s).

La función de transferencia que relaciona con u(t) es la siguiente:

(8)

La cual corresponde a su vez a la planta del sistema.

El controlador pedido tiene la forma:

(9)

Ahora se procede a calcular el polinomio del lazo cerrado Acl(s):

(10)

(11)

El polinomio característico tiene la forma: de aquí se obtienen las siguientes relaciones:

(12)

(13)

A su vez podemos encontrar la constante de tiempo del lazo cerrado por medio de la resolución de las raíces del polinomio característico:

(14)

Por condición dada en el enunciado:

(15)

De la ecuación (15) se puede despejar utilizando la condición :

(16)

Para Kc se utiliza la ecuación (12), la cual, luego de despeje queda como:

(17)

Por último, para Ti se utiliza la ecuación (13) y se obtiene:

(18)

Ya obtenidos todos los parámetros correspondientes al controlador PI, tenemos que este queda de la siguiente forma:

(19)

1.3. Diseñe la ganancia Kc de un controlador PI con para controlar la posición de la bola a partir de la medición , actuando sobre u(t) para variar el torque eléctrico del motor, de forma que la bola oscile de forma permanente. Exprese el resultado en función de los parámetros de Gp2(s).

La función de transferencia que relaciona y u(t) y que a su vez representa la planta del sistema corresponde a:

(20)

Y el controlador PI a utilizar es:

(21)

Para encontrar los parámetros se encontrará el polinomio característico del lazo cerrado Acl(s), el cual es:

(22)

Se pide que la bola oscile de forma permanente y que , para esto es necesario que Acl(s) sea factorizable por ya que los modos naturales de este polinomio son sinusoidales. Es decir, el resto de la división debe ser cero. Es así como:

_______________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

(23)

Del resto de la división se obtiene las siguientes relaciones:

(24)

(25)

Reemplazando con los valores de la Tabla 1, se obtienen 2 ecuaciones con 2 incógnitas, las que corresponden a y Kc, y se obtiene lo siguiente:

(26)

(27)

Se tiene

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