Ley De Gravitación Y De Coulomb

IINDICE

Ley de gravitación universal

Formulación general de la ley de gravitación universal

Forma vectorial

Cuerpos extensos

Ley de coulomb

Desarrollo de la ley

Enunciado de la ley

Formulas de la ley de coulomb

Comparación entre la ley de coulomb y la ley de gravitación universal

Trabajo de Hooke y disputa

Relación con las leyes de Kepler

Ley de la gravitación universal:

La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Matemática, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.

Así, con todo esto resulta que la ley de la Gravitación Universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas y separados una distancia es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

(1)

Donde

Es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.

Es la constante de la Gravitación Universal.

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. El valor de esta constante de Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición (véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados:

(2)

En unidades del Sistema Internacional.

Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de Coulomb para las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa del cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga eléctrica).

Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la Relatividad General enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos (planetas, lunas, asteroides, etc) del Sistema Solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.

Formulación general de la ley de la Gravitación Universal:

Forma vectorial:

Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones , la fuerza (que será un vector ahora) vendrá dada por:

(2)

Donde es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

Cuerpos extensos

Se ha mencionado anteriormente que dichos cuerpos se pueden tratar como cuerpos puntuales, localizados en el centro de gravedad del cuerpo real, de tal forma que la descripción de esta fuerza se realiza trabajando únicamente con cuerpos puntuales (toda su masa se encuentra concentrada en su centro). Sin embargo, para algunos casos se puede hacer necesario tratar dichos cuerpos como lo que son, cuerpos con una extensión dada, es decir no puntuales. Un ejemplo donde este tratamiento es obligatorio es cuando se desea determinar cómo varía la fuerza de la gravedad a medida que nos situamos en el interior de un objeto, por ejemplo qué gravedad existe en el interior de la Tierra (en la región del manto terrestre o del núcleo).

En estos casos es necesario describir al objeto masivo como una distribución de masa, es decir describirlo a través de su densidad en cada punto del espacio. Así, se integra la fuerza que produce cada elemento infinitesimal del cuerpo sobre cada elemento del otro objeto, sumando a todos los elementos que existen en el volumen de ambos cuerpos, lo cual matemáticamente se traduce en una integral sobre el volumen de cada cuerpo, de tal forma que la fuerza gravitatoria entre ambos se obtiene como:

(3)

Donde

Son los volúmenes de los dos cuerpos.

Son las densidades de los dos cuerpos en cada punto del espacio ( ).

Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por:

Ley de coulomb:

La ley de Coulomb puede expresarse como:

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo,

...