Limites Aplicadas

Unidad 2. Límites y continuidad

El concepto de límite y continuidad son la base para iniciar el estudio de la derivada, que de hecho, es un límite.

Esta unidad inicia con la definición e interpretación intuitiva de límite y se apoya en la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una función.

La definición de límite te permitirá comprender el concepto de continuidad y a su vez, éste te ayudará a identificar qué situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio de una función continua.

2.1. Límites

El límite se aborda en otras áreas de las ciencias como cálculo integral, vectorial, en variables, ecuaciones diferenciales, análisis matemático, topología, etc., esto con respecto a las áreas de matemáticas. También se utiliza para deducir las fórmulas de la física y de la química, siempre lo encontrarás en los libros que utilices como referencia.

2.1.1. Concepto intuitivo de límite

Si deseas calcular el límite de la función f(x) = x², en el punto x1, tienes que analizar los puntos que hay a su alrededor, tanto del lado izquierdo como del derecho del eje de las equis.

Por cada punto que tomes en el eje de las equis, tienes que analizar lo que sucede con la gráfica; conforme te acercas al punto x1 por el lado izquierdo, debes analizar hacia dónde se aproxima la gráfica, lo mismo debes hacer por el lado derecho (ver figura).

2.1.1. Concepto intuitivo de límite

Determinar el límite

de la función:

Cuando x tiende a 1.

Para representar y comprender mejor la situación anterior, se te presenta el siguiente ejemplo:

La gráfica de la función se muestra en la figura.

Al evaluar la función en x = 1, se tiene:

Esto indica que la función en f (1) no está definida.

Cuando se desea determinar un límite, no interesa encontrar cuánto vale la función en ese punto, sino lo que sucede en su entorno.

En este caso, lo que sucede cuando te vas acercando al 1 del lado izquierdo del eje de las equis y del lado derecho, tal como se ilustra en la gráfica.

Para acercarte tanto del lado izquierdo como del derecho, le asignarás diferentes valores a x, de tal manera que se aproxime al punto 1 y observarás el comportamiento que tienen las y, a medida que te vas acercando al punto en el que no está definido f(x), en este caso es 1.

En el ejemplo, conforme x se aproxima al 1 tanto por la izquierda como por la derecha, el límite de f(x), cuando x tiende a 1, es 0.

.1.2. Cálculo de límites de forma gráfica y numérica

Considera la función f definida por la ecuación:

En la figura se ilustra la gráfica de la función. Observa que f(x) existe para cualquier x, excepto en

x = 2, por lo que se evaluará la función cuando x se aproxime a 2 por la izquierda y por la derecha. Observa la posición que tiene el 2 en el eje de las equis.

Del lado izquierdo te puedes acercar del 1 al 2, aumentando los valores. Del lado derecho, del 3 al 2, disminuyendo los valores. Esto se muestra en las siguientes tablas:

x 1 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

f(x) 0 0.25 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999

________________________________________

x 3 2.75 2.5 2.25 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

f(x) 2 0.75 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001

Notarás que en ambas tablas:

Conforme x se aproxima cada vez más a 2, f(x) se acerca cada vez más a 1.

Y cuanto más cerca esté x de 2, más cerca estará f(x)de 1.

Como te podrás dar cuenta, la función no está definida en x = 2, pero el límite de la función, cuando x tiende a 2, es 1.

En el punto x = 2, la función no está definida (tiene un huequito), al calcular el límite, encontramos el valor que hay que rellenar para que la función sea continua.

x 1 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

f(x) 0 0.25 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999

________________________________________

x 3 2.75 2.5 2.25 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

f(x) 2 0.75 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001

Límite de una función.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a

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