Los Tres Problemas Clásicos Griegos

Universidad Pedagógica Nacional

“Francisco Morazán”

CUED Choluteca

Asignación N°1

Tema: Los Tres Problemas Clásicos Griegos

Cátedra: Historia Y Naturaleza De Las Matemáticas

Catedrático: Lic. Ramón Zelaya

Alumna: Ana Belky Carrasco Pineda

Registro: 0603198501846

Choluteca 27 De Febrero 2015

LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la geometría griega (consistente en construir un ángulo que mida un tercio de la medida de otro ángulo dad) que no se puede realizar, en general, con regla y compás. Y digo “en general” porque la cuestión es que algunos ángulos sí son “trisecables” con regla y compás y otros no (depende de si el coseno de dicho ángulo es o no raíz de un polinomio de grado una potencia de 2).

El caso es que los ángulos que no cumplen la condición anterior no son “trisecables” con regla y compás, siempre que respetemos totalmente las normas de las construcciones de la antigua Grecia, pero sí lo son si suavizamos un poco nuestras exigencias. Vamos a ver cómo.

En lo que sigue vamos a ver un procedimiento para trisecar un ángulo cualquiera que sea menor de 90º. Como el de 90º sí es trisecable (y, por cierto, de manera muy sencilla como veremos más adelante), podremos así trisecar cualquier ángulo entre 0º y 360º.

Comenzamos con una semicircunferencia de centro O y radio R y un ángulo [pic 1] inscrito en ella que la corta en el punto A, como se puede ver en la siguiente imagen:

[pic 2]

Ahora tomamos una regla y marcamos en ella dos puntos, B y C, que estén a distancia R:

[pic 3]

Apoyamos la regla en A y colocamos el punto B en el eje X de forma que el punto C quede apoyado en la circunferencia, tal que así:

[pic 4]

Uniendo ahora el punto C con el centro O (con un segmento que medirá R por ser el radio de la semicircunferencia), tenemos que el triángulo BCO (en verde) es isósceles, por lo que los ángulos CBO y COB son iguales (los llamamos [pic 5]):

[pic 6]

Vamos a denotar el resto de ángulos que nos interesan. El triángulo COA también es isósceles, por lo que los ángulos OAC y OCA, que llamaremos [pic 7], son iguales. Llamando ahora [pic 8] al ángulo COA y y [pic 9] al BCO tenemos la situación siguiente:

[pic 10]

De todo esto podemos sacar algunas relaciones evidentes entre los ángulos. Por ejemplo,

[pic 11]

También se tiene que [pic 12] y que [pic 13], de donde se deduce que [pic 14]. Por otra parte, también tenemos que [pic 15].

De las dos últimas igualdades podemos despejar [pic 16], quedando

[pic 17]

Sustituyendo ahora en la primera igualdad llegamos a

[pic 18]

Es decir,

[pic 19]

Vamos, que a partir de un ángulo [pic 20] hemos construido otro, [pic 21], que es un tercio del primero:

[pic 22]

Trasladando ahora ese ángulo dos veces sobre [pic 23] ya hemos trisecado dicho ángulo.

LA DUPLICACIÓN DEL CUBO

El problema de la duplicación del cubo consiste en construir a partir de un cubo de lado [pic 24]y (evidentemente) de volumen [pic 25] otro cubo con el doble de volumen, es decir, de volumen[pic 26].

[pic 27]

Este problema tampoco es resoluble con regla y compás por lo siguiente:

Supongamos que nuestro cubo tiene lado[pic 28]. Por tanto su volumen será[pic 29]. Supongamos que un cubo con el doble de volumen fuera construible con regla y compás. Llamemos al lado de ese cubo[pic 30]. Entonces[pic 31]. Dividiendo entre [pic 32]y haciendo raíz cúbica obtenemos que[pic 33]. Si [pic 34] fuera construible con regla y compás también lo sería [pic 35] al serlo[pic 36].

El polinomio [pic 37] tiene a [pic 38] como raíz. Además es un polinomio irreducible en[pic 39], ya que las únicas raíces racionales que puede tener son [pic 40] y claramente no lo son. Por tanto es el polinomio mínimo irreducible de [pic 41]. Como este polinomio es de grado [pic 42] y [pic 43] no es una potencia de [pic 44] por lo comentado antes [pic 45]no es construible con regla y compás y en consecuencia tampoco lo es [pic 46]. Con esto vemos que no podemos duplicar un cubo.

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