Método de discretización exacta para resolución de ecuaciones

RESUMEN

Este documento discute un nuevo método de discretización exacta la obtención de una ecuación de diferencia equivalente cuya solución es igual a la solución de una ecuación diferencial en puntos periódicos discretos. El método difiere del método existente en la necesidad no hay soluciones de las ecuaciones diferenciales. La transformada z de la ecuación de diferencia equivalente se reduce a partir de la aplicación de la s- z transformada de sustitución (s - α) por (1 - eαT z - 1) a la transformada de Laplace de una ecuación diferencial . Entonces, se obtiene la ecuación de diferencia equivalente de la nueva representación de la transformada z . El método se aplica a las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes lineales generales y a algunos ejemplos, incluyendo la ecuación diferencial no lineal de la ecuación logística que representa comportamiento caótico.

El método propuesto es muy sencillo y eficaz en la solución de ecuaciones numéricas con coeficiente diferencial constante lineales y algún tipo de ecuaciones diferenciales no lineales.

1. INTRODUCCIÓN

Cuando ecuaciones diferenciales se resuelven numéricamente, las derivadas  , son aproximadamente reemplazados con las diferencias finitas. , (Donde T es el periodo de muestreo) como se conoce bien [1]. Por lo tanto este método no hace ninguna discretización exacta.[pic 1][pic 2]

La discretización exacta es la obtención de la ecuación de diferencia equivalente cuya solución es igual a la solución de una ecuación diferencial en puntos periódicos discretos. Recientemente se ha propuesto un método de discretización exacto pero necesita soluciones de ecuaciones diferenciales.

Se propone un nuevo método de discretización exacta. El método difiere en gran medida del método existente que no necesita solución de la ecuación diferencial. La z-transformada de la ecuación diferencial es producida de la transformada de Laplace de la ecuación diferencial de la  transformar de sustituir   de  (donde α es una constante). Entonces la ecuación equivalente diferencial muestra una nueva representación que se obtiene de transformar [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

El método se aplica a las ecuaciones lineales diferenciales constante-coeficiente y para algunos ejemplos incluyendo las ecuaciones diferenciales no lineales de ecuación logística que representa el comportamiento del caos.

Hemos constatado que el método propuesto es muy simple y efectivo en la solución de ecuaciones lineales diferenciales constante-coeficiente y alguna tipo de ecuaciones no diferenciales.

1. LA Z-TRANSFORMADA PARA SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO

Una señal discreta   derivado de muestreo de señales de tiempo continuo  es representado de la siguiente manera:[pic 7][pic 8]

 Donde  es el periodo de muestreo y  es la unidad función impulso. Así . La transformada de Laplace  de  puede ser expresada como la convolución integral compleja de la transformación Laplace  de  y  de la secuencia de impulsos, en la forma[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

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