Ecuaciones lineales metodo simplex.

CAPÍTULO I:        FUNDAMENTOS DE METODOS CUANTITATIVOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

Ejemplo 5:

Se procesan tres productos a través de tres operaciones diferentes.  Los tiempos (en minutos) requeridos por unidad de cada producto, la capacidad diaria de las operaciones (en minutos por día) y el beneficio por unidad vendida de cada producto (en dólares) son como sigue:

1. Determinar la producción diaria óptima para los tres productos que maximice el beneficio (Z).
2. Supongamos que un cuarto producto debe fabricarse en las mismas operaciones.  Los tiempos por unidad en las tres operaciones son 3, 5 y 1.  El beneficio por unidad es igual a $. 6.  Vuelva a formular el modelo de programación lineal si además debe utilizarse la capacidad total de la operación 3.  ¿Cómo cambiaría esto la formulación?
3. En el problema original, suponga que la suma de las capacidades no utilizadas de las tres operaciones no deben exceder  de 10 minutos por día.  Muestre como ésta restricción puede ser implantada en la formulación.
4. Suponga además que un estudio de mercado indica que la relación del número de unidades del producto 1 al número de unidades del producto 2 y 3 debe ser al  menos igual a 0.4.  Muestre como esta restricción puede ser tomada en cuenta en la formulación del problema original.

Solución:

1. Solución:

Sean:        X1 , X2 , X3 = n° unidades de los productos 1, 2, 3 a producir

F.O.: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 

Sujeto a:

Operación 1:          X1    +   2X2    +    X3   ≤   430

Operación 2:        3X1                    + 2X3   ≤   460

Operación 3:           X1   +   4X2                  ≤   420

X1 , X2 , X3   ≥   0

1. Solución:

Sean:        X1 , X2 , X3 , X4  = n° unidades de los productos 1, 2, 3, 4 a producir

F.O.: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 + 6X4 

Sujeto a:

Operación 1:          X1    +   2X2    +    X3     +    3X4   ≤   430

Operación 2:        3X1                    + 2X3     +    5X4   ≤   460

Operación 3:           X1   +   4X2                    +      X4   =   420

X1 , X2 , X3 , X4   ≥   0

1. Dado que se hace mención a las capacidades no utilizadas (holguras) de las operaciones , es menester, previo a la formulación del problema explicar el concepto de “holgura”.

1er caso:

Sea:        J:        aij Xj   ≤   bi         

        J:        aij Xj   +  Si   =  bi 

Donde:

aij Xj          = cantidad mínima necesaria de recursos para la ejecución de la actividad “J”

bi         = recursos disponibles para la ejecución de la actividad “J”

Si         = holgura de la actividad “J”

En el caso expuesto, la holgura positiva +Si refleja una capacidad ociosa de recursos (superávit) que no están siendo utilizados, ante lo cual podría optarse por rotar personal hacia otras áreas deficitarias o en el peor de los casos prescindir de dicho personal, dado que afectarían los costos operativos de la empresa.

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