Matemática C3- Inecuaciones

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Material de Trabajo

Matemática

C3- Inecuaciones

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Lic. Claudia Iravedra

Ing. Mariana Schaposchnikoff

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INTERVALOS

En este curso utilizaremos a los intervalos de números reales para encontrar y escribir los dominios de las funciones.

Intervalo cerrado:

Definición: Sean ―a‖ y ―b‖ elementos de R, tal que a< b, se llama intervalo cerrado ab al conjunto de los números reales formados por a y b y todos los comprendidos entre ambos.

Formalmente se escribe: [a; b] = {x/x ∈R ∧ a≤ x ≤ b}

A esta forma de escribir la llamaremos por comprensión. Su representación gráfica sobre la recta real es:[pic 7][pic 8]

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a        b

Intervalo abierto:

Definición: Sean ―a‖ y ―b‖ elementos de R, tal que a < b, se llama intervalo abierto ab al conjunto de los números reales comprendidos entre ambos.

Formalmente se escribe: (a; b)= {x/x ∈ R ∧ a < x < b} Su representación gráfica sobre la recta real es:[pic 10]

a        b

Así tenemos por ejemplo: (1 ;4) = {x / x ∈ R ∧ 1 < x < 4}, entonces 1,0001 ∈ (1 ;4) y 4000001 ∉ (1 ;4).

Antes de continuar conteste le siguiente pregunta:

Si a = b entonces [a ;a]= ………………………….. y (a; a) = …………………………

Continuamos con:

Intervalos semiabiertos

Semiabierto a izquierda:

Definición:   Sean ―a‖ y ―b‖ elementos de R, tal que a < b, se llama intervalo semiabierto a izquierda ab al conjunto de los números reales formado por b y todos los comprendidos entre a y b

Formalmente se escribe: (a;b] = {x/x ∈ R ∧ a < x ≤ b}

Por ejemplo tenemos (2;5] = {x/x ∈ R ∧ 2 < x ≤ 5}, efectúa la representación gráfica y responde cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo: 2,8; 5; 2; 4,99999

Semiabierto a derecha:

Completa la definición:

Definición:  Sean ―a‖ y ―b‖ elementos de R, tal que a < b, se llama intervalo semiabierto a derecha ab al conjunto de los números reales formados…………………………………………

………………………………………………………………………………………………

……

Formalmente lo escribiremos: [a;b)= {x/x ∈ R ∧ a ≤ x < b}

INTERVALOS INFINITOS:

Consideraremos a continuación los llamados intervalos infinitos

Semirrecta cerrada

Definición: Se llama semirrecta cerrada [a;∞), al conjunto de los números reales formados por ―a‖ y todos los mayores que ―a‖.

Formalmente será: [a;∞) = {x /x ∈R ∧ x ≥ a}.[pic 11]

Gráficamente será:        a

O bien: Llamamos semirrecta cerrada (-∞; a] al conjunto de los números reales formados por ―a‖ y todos los menores que ―a‖[pic 12]

Formalmente tendremos: (—∞; a] = {x / x ∈R ∧ x ≤ a}        a Observación: Los símbolos ∞ y — ∞ no son números reales, son utilizados como notación.

OPERACIONES ENTRE INTERVALOS:

Para realizar estas operaciones es conveniente recordar dos definiciones

Unión entre conjuntos:

Se llama unión del conjunto A con el conjunto B, al conjunto A ∪ B definido por: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

Intersección entre conjuntos:

Se llama intersección del conjunto A con el conjunto B, al conjunto A ∩ B definido por A∩B = {x/x ∈ A ∧ x ∈B}

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

Calcular (1;5) ∩ (2;6) = (2;5) la gráfica ayudará a encontrar las solución.

Ejemplo:

Calcula [1;3) ∪ [2;5) = [1;5)

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1        2        5        6[pic 14][pic 15]

[pic 16]

1        2        3        5

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         Actividad Nº 1:[pic 19]

Escriba por comprensión y represente gráficamente los siguientes intervalos: 1. [1; 2)        2. [-1; 3]        3. (-½ ; 0)

Actividad Nº 2:

1. Define semirrecta abierta siguiendo la idea de semirrecta cerrada.
2. Defina por comprensión y represente gráficamente los siguientes intervalos:

a. [—5; ∞)        b. (—∞;2)        c. (—∞;+∞)        d. (− ∞; 3][pic 20]

El eje de la primera parte de este curso será el estudio de funciones. Para hallar el dominio de las mismas muchas veces es necesario resolver desigualdades, por lo que resulta importante recordar algunas reglas que nos permitirán operar y encontrar el conjunto solución de una desigualdad.[pic 21][pic 22]

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