Matemática para Ingenieros

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y                             ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Campo Vectorial, Integral de Línea de primera y segunda especie y sus aplicaciones e integrales de superficie

  CURSO: Matemática para Ingenieros III

INTEGRANTES: [pic 6]

• ALAMO DE LA CRUZ, Romel Edwin.

• CORNEJO GUEVARA, Amalia Cristina.

• GUZMÁN VELÁSQUEZ, Carlos Eduardo.

• HERNA TARRILLO, Leydi Lucero.

• RAMIREZ LEIVA, Cindy Omaira.

DOCENTE: Msc. Juana Doris Blas Rebaza[pic 7]

GRUPO: “A”

CÓDIGO: 2018-II

[pic 8]

INTRODUCCIÓN

El conocimiento acerca de los campos vectoriales, las integrales de línea de primera y segunda especie e integrales de superficie, así como sus aplicaciones son de suma importancia tanto para lograr un buen desarrollo de próximos cursos ligados a nuestra carrera profesional, así como el ejercicio de esta; en ambos casos aplicaremos estos conocimientos para la correcta interpretación de las diferentes realidades a las que están asociadas.

En el presente trabajo daremos a conocer los diferentes conceptos asociados a estos temas matemáticos y a la vez mostrando ejercicios prácticos que nos servirán para poder entender dichos temas de manera eficiente.

INTRODUCCIÓN AL CAMPO VECTORIAL

CAMPO VECTORIAL:

Un campo vectorial definido en un conjunto U ⊂ 3, es una función con valores vectoriales F que asocia a cada punto (x, y, z)  U ⊂ 3 un vector F(x, y, z) = F1 (x, y, z) + F2 (x, y, z) + F3 (x, y, z) de manera breve podemos escribir:[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

F =  o F = F1 + F2 + F3 [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Siendo las funciones F1, F2 y F3 funciones componentes del campo vectorial F. Además:

F1, F2, F3: U ⊂ 3  
                            (x, y, z)  F1 (x, y, z)[pic 23][pic 24][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

                             (x, y, z)  F1 (x, y, z)[pic 25]

                             (x, y, z)  F1 (x, y, z)[pic 26]

De manera análoga un campo vectorial definido en un conjunto D ⊂ 2 es una función con valores vectoriales F que asocia a cada punto (x, y)  D el vector:[pic 27][pic 28]

F(x, y) = F1 (x, y) + F2 (x, y); donde:[pic 29][pic 30]

F1, F2: D ⊂ 2  [pic 34][pic 31][pic 32][pic 33]

(x, y, z) → F1 (x, y, z)

(x, y, z) → F1 (x, y, z)

[pic 35]

Ejemplos:

1. F(x, y) = X + Y                                                   2. F(x, y, z) = [pic 39][pic 40][pic 36][pic 37][pic 38]

GRADIENTE DE UN CAMPO VECTORIAL

Sea : U ⊂ 3   una función real de variable vectorial (campo escalar) y supongamos que  es diferenciable, entonces el vector gradiente de  , se denota y define como sigue:[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

1. El vector gradiente de  apunta la dirección de mayor crecimiento del campo escalar .[pic 50][pic 51]
2. Un campo vectorial , es un campo vectorial conservativo y al campo escalar ; se le denomina función potencial.[pic 52][pic 53]

[pic 54]

• [pic 55]

        Campo vectorial conservativo[pic 56][pic 57]

• [pic 58]

        Función potencial        

        Campo vectorial conservativo          

Ejemplo:

[pic 59]

Solución:

[pic 60]

[pic 61]

Luego:[pic 62][pic 63]

[pic 64]

Donde , se denomina función potencial.[pic 65]

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

Dado el campo vectorial  con funciones componentes ,  y  diferenciables.[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

La divergencia del campo vectorial  es el campo escalar que se denota y define como sigue.[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73][pic 74][pic 75]

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Dado el campo vectorial  con funciones componentes ,  y  diferenciables, el rotacional del campo vectorial  es otro campo vectorial que se denota y define como sigue:[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

Ejemplo:

Sea el capo vectorial [pic 83]

1. Determine [pic 84]
2. Determine[pic 85]
3. Determine si  es conservativo, en caso de serlo, halle la función potencial.[pic 86]

Solución:

1. Determine [pic 87]

[pic 88]

1. Determine[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

Como el , entonces se cumple:[pic 93]

[pic 94]

1. Determine si  es conservativo, en caso de serlo, halle la función potencial.[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 99][pic 100][pic 98]

De (I), (II) y (III) se obtiene:
[pic 102][pic 103][pic 101]

...