Matemáticas práctica

Para encontrar y’(1) e y(3) procedemos como se explica en la práctica, a partir de la derivada, es decir de su pendiente en dicho punto.

function dy=derive(x,y)

dy(1,:)=y(2);

dy(2,:)= -y(1)+2.*x-x.*y(2);

end

>> a=1;

>> b=3;

>> alfa=0.7854;

>> y1=1;y3=3;

>> [x y]=ode23('derive',[a b],[y1 alfa]);

>> plot(x,y(:,1))

>> yb1 = y(end,1) % Primera estimación de y(b)

yb1 =

2.9184

Comprobamos que a pesar de ser un resultado próximo al buscado, nos quedamos cortos, probaremos ahora aumentando el valor de la pendiente. Por ejemplo así : alfa=alfa+1;

>> beta=alfa+1

beta =

1.7854

>> [x y]=ode23('derive',[a b],[y1 beta]);

>> yb2 = y(end,1) % Primera estimación de y(b)

yb2 =

3.2986

Vemos ahora que nos hemos pasado del valor buscado. Ahora que ya tenemos un intervalo de confianza donde se encontrará la respuesta buscada procedemos haciendo una interpolación entre los intervalos anteriormente utilizados. Para ello:

>> gamma=alfa+(beta-alfa)*(yb-yb1)/(yb2-yb1);

Volvemos a aproximar la solución, una vez más;

>> [x y]=ode23('derive',[a b],[y1 gamma]);

>> yb3=y(end,1)

yb3 =

3.0000

Hemos encontrado finalmente la solución numéricamente utilizando el método del disparo.

Ahora siguiendo las instrucciones de la practica compararemos el resultado exacto con el obtenido.

La solución exacta era: y(x)=x;

La guardaremos en una variable.

exacta=x;

Ahora se representaran ambas soluciones de una forma fácil de compararlas.

Columns 1 through 7

1.0000 1.0800 1.2800 1.4800 1.6800 1.8800 2.0800

1.0000 1.0800 1.2800 1.4800 1.6800 1.8800 2.0800

Columns 8 through 12

2.2800 2.4800 2.6800 2.8800 3.0000

2.2800 2.4800 2.6800 2.8800 3.0000

Podemos comparar que con una precisión de cuatro decimales las soluciones parecen exactas. Posteriormente comprobaremos que no es asi. Lo haremos calculando el error entre ambas soluciones. Para ello solo basta con restarlas y encontraremos las diferencias de las dos.

Recordemos que las soluciones exactas están guardadas en la variable “exacta” y las obtenidas las guardaremos

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