Mecanica. Fuerzas Distribuidas

TEOREMA DE LIUVILLE

Si f es una funcion entera, entonces, o bien f es constante, o bien f no está acotada. En otras palabras, las unicas funciones enteras acotadas son las funciones constantes.

Demostracion. Supongamos que f es entera y acotada:

Como consecuencia, para cualquier a , si es el maximo de

En la circunferencia , tendremos que , y, aplicando la desigualdas de Cauchy para n=1, obtenemos

Tomando limites cuando r tiende a resulta

Luego f’(a) = 0 y f es constante.

Hallar el promedio de x^2 - y^2 + 2y sobre el

circulo |z-5+2i|=3

El teorema del valor medio de Gauss te dice que:

Teorema del valor medio de Gauss

Sea f(z) una funcion holomorfa en un dominio Ω y sea z ∈ Ω.

Entonces f ( z ) es igual al valor medio de f(z) sobre cualquier circunferencia de Ω centrada en z y orientada positivamente.

Dem.: Denotemos Cr la circunferencia de Ω dada por |z −z | = r orientada positivamente. Entonces, por la formula integral de Cauchy,

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