Metodo de horner

1. Método de Horner:

El método de Horner o regla de Horner consiste en un algoritmo que permite evaluar eficientemente funciones polinómicas de manera monomial. Este método es nombrado de esta manera debido al matemático y maestro inglés William George Horner (1786-1837).

A pesar de ser distinguido como “el método de Horner”, de acuerdo con los historiadores, este método ya era conocido por numerosos matemáticos desde la antigüedad, remontándose su primera aparición a la antigua China entre los siglos I y II a.C. en el libro matemático “Los nueve capítulos del arte matemático”. Así pues, los chinos y los persas fueron los primeros en describir este método, siendo algunos de los conocedores el matemático chino del siglo XI Jia Xian, el matemático persa del siglo XII Sharaf al-Din al-Tusi y el matemático chino del siglo XIV Zhu Shijie. De hecho, Isaac Newton ya conocía también este método en el año 1669 y por otro lado el mismo Horner lo atribuyó al matemático y astrónomo Joseph-Louis Lagrange. Horner publicó un artículo sobre el método el 1 de julio de 1819 en la revista Filosófica Transacciones de la Real Sociedad de Londres, luego de esto fue el matemático y lógico inglés August De Morgan quien le dio el nombre de “método de Horner”, además de darle amplia circulación en muchos de sus artículos.

Veamos cómo funciona el método de Horner dado el siguiente polinomio:

[pic 1]

Donde  son números reales, entonces, queremos evaluar el polinomio a un valor específico de , por ejemplo . Para realizar este procedimiento debemos definir una nueva secuencia de constantes, como la siguiente:[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Entonces  es el valor de :[pic 9][pic 10]

Para ver cómo funciona esto, debemos prevenir que el polinomio puede escribirse de la forma:

[pic 11]

Luego, sustituyendo iterativamente la  en la expresión,[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Así pues, este algoritmo es frecuentemente empleado para convertir entre diferentes sistemas numéricos posicionales, también es empleado si  es una matriz, en ese caso la carga computacional se reduce aún más. Así, este método resulta eficiente ya que la evaluación empleando la forma monomial de un polinomio de grado n necesita por lo menos n sumas y  multiplicaciones, esto en caso que las potencias se calculen por la repetición de multiplicaciones, en cambio, el algoritmo de Horner requiere únicamente n sumas y n multiplicaciones. [pic 18][pic 19]

Podemos concluir entonces que el método de Horner consiste en un algoritmo, cuyos antecedentes se remontan siglos atrás en las culturas chinas y persas y que es una herramienta que posibilita evaluar eficientemente funciones polinómicas.

1. Método Newton para sistema no lineal:

En la práctica numerosos problemas son resueltos con el método de Newton o variaciones de él, así pues, el método de Newton consiste en uno de los más simples para la resolución de sistemas no lineales. Este método está basado en el principio de linealización sucesiva. De esta manera, problemas no lineales son cambiados por secuencias de problemas lineales cuyas soluciones convergen en la solución del problema original.

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