Microbiologia

TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS pagina 39

pagina 40 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

Į

x

y

r

figura 31

3

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

3.1 FORMULAS FUNDAMENTALES

La base del estudio de este inciso esta en las siguientes 11 formulas que a continuacion se van a

deducir, llamadas formulas trigonometricas.

Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una

de las funciones trigonometricas, referidas a la figura 31.

;

sen y

r

Į = cos x

r

Į =

;

tan y

x

Į = cot x

y

Į =

;

sec r

x

Į = csc r

y

Į =

3.1.1) FORMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECIPROCOS

Un numero es el inverso de otro, respecto de cierta operacion, si al operar ambos entre si dan

como resultado el elemento neutro de esa operacion.

Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado

a todo numero. De manera que el inverso del numero + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan

como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En

la multiplicacion, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicacion

TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS pagina 41

1 sen 1

csc

Į

Į

› = 2 cos 1

sec

Į

Į

› =

3 tan 1

cot

Į

Į

› = 4 cot 1

tan

Į

Į

› =

5 sec 1

cos

Į

Į

› = 6 csc 1

sen

Į

Į

› =

a cualquier numero. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado

el uno (el elemento neutro de la multiplicacion). Por eso se le llama inverso multiplicativo .

Un sinonimo de inverso multiplicativo es reciproco .

De tal manera que el significado que a las siguientes seis formulas se le va a dar al termino inverso

es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre si dan el elemento neutro de

la multiplicacion: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un numero n es el inverso multiplicativo

de otro numero m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple despeje

que

o bien

n 1

m

= m 1

n

=

Puede verse en las relaciones trigonometricas de la pagina 40 que la funcion seno y la funcion

cosecante son reciprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicacion se obtiene

1 ; igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que de su y r

r y

i =

multiplicacion se obtiene x r 1 y de la misma forma la tangente con la cotangente tamr

x

i =

bien lo son, ya que de su multiplicacion se obtiene 1 . De manera que las primeras y x

x y

i =

seis formulas trigonometricas, llamadas por eso de los inversos o reciprocos , son:

pagina 42 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

7 sen tan

cos

Į

Į

Į

› =

8 cos cot

sen

Į

Į

Į

› =

A las formulas anteriores tambien se les conoce con el nombre de formulas de los reciprocos ya

que, en particular, a los inversos multiplicativos se les llama reciprocos. Dos numeros son reciprocos

si se invierten respectivamente el numerador con el denominador. Por ejemplo, 3/4 y 4/3

son reciprocos; 2/9 y 9/2 son reciprocos. Es claro que si se multiplican entre si dan la unidad, o

sea el elemento neutro de la multiplicacion, por lo que, conforme a la definicion de la pagina 40,

los reciprocos son tambien inversos. !Cuidado: los inversos son tambien reciprocos solamente

en la multiplicacion!.

3.1.2 FORMULAS DEL COCIENTE

Dividiendo el seno entre el coseno (ver figura 31, pagina 40) se tiene que:

y

sen r yr y tan cos x xr x

r

Į

Į

Į

= = = =

e inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:

x

cos r xr x cot sen y yr y

r

Į

Į

Į

= = = =

De manera que las siguientes dos formulas, llamadas del cociente, son:

3.1.3 FORMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGORICAS

Aplicando el teorema de Pitagoras a la figura 31 de la pagina 40, se tiene que

(A) r2 = x2 + y2

TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS pagina 43

›9 sen2ƒÆ + cos2ƒÆ =1

a) Dividiendo la igualdad (A) entre r 2 , aplicando la propiedad de las igualdades: "Lo que se

haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve", se obtiene:

2 2 2

2 2 2

r x y

r r r

= +

simplificando:

2 2

2 2 1 x y

r r

= +

que se puede escribir como

2 2

1 x y

r r

= . . + . . . . . .

. . . .

pero como

y ademas (ver figura 31, pagina 40)

x cos

r

= Į y sen

r

= Į

se llega a la novena formula que es

Significa que para cualquier anguloĮ , la suma del seno cuadrado de ese angulo mas el coseno

cuadrado del mismo angulo siempre va a dar la unidad. El alumno puede probarlo con su

calculadora, por ejemplo, para Į = 37 , realizar las operaciones ( )2 ( )2 para sen 37 + cos 37

comprobar que el resultado es 1.

b) Dividiendo la igualdad (A) , pagina 42, entre x2 , aplicando la propiedad de las igualdades:

"Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve",

se obtiene:

2 2 2

2 2 2

r x y

x x x

= +

simplificando:

pagina 44 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

›10 sec2ƒÆ = tan2ƒÆ + 1

2 2

2 2 r 1 y

x x

= +

que se puede escribir como

2 2

r 1 y

x x

. . = + . . . . . .

. . . .

pero como

y ademas (ver figura 31, pagina 40)

r sec

x

= Į y tan

x

= Į

se llega a la decima formula que es

c) Dividiendo

...