Modelo matemático de un sistema de riego para cultivos

MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA DE RIEGO PARA CULTIVOS

Brayan Stalin Mejía Rosero

bmejiar@est.ups.edu.ec

RESUMEN: El siguiente informe presenta el proyecto de modelado matemático, para el control de nivel de un líquido en un tanque, el cual es utilizado para un sistema de riego para un cultivo, partiendo desde la obtención de las Ecuaciones Diferenciales, que nos van a representar el comportamiento dinámico de cada de unas de las variables del sistema, posteriormente utilizaremos la Transformada de Laplace bajo las condiciones iniciales sean 0, utilizaremos un sistema lineal para representar las ecuaciones.

ABSTRACT: The following report presents the mathematical modeling project for the level control of a liquid in a tank, which is used for an irrigation system for a crop, starting from obtaining the Differential Equations, which will represent the dynamic behavior of each of the variables of the system, later we will use the Laplace transform under the initial conditions are 0, we will use a linear system to represent the equations.

PALABRAS CLAVES: MODELADO, ECUACIONES DIFERENCIALES, SISTEMAS DINÁMICOS.

1. OBJETIVOS

GENERAL

• Formular una metodología analítica para el diseño de un sistema de riego para cultivos utilizando ecuaciones diferenciales.

ESPECIFICOS

• Analizar el marco teórico que permita representar los sistemas dinámicos de control automático de bombas.
• Aplicar correctamente las diferentes ecuaciones diferenciales para así obtener un modelo matemático el cual nos sirva en nuestro sistema.

1. MARCO TEORICO

INTRODUCCIÓN

La ingeniería agrónoma se encarga de gestionar, entre otras cosas, la producción animal y vegetal. En la  producción de alimentos vegetales existen diversos procesos para la obtención de los mismos, nos centraremos en aquellos que requieren del suministro de algún líquido como materia prima, distribuidos desde una altura determinada, para ello es necesario la revisión del nivel del líquido en el tanque de depósito, como también del caudal que ingresa y sale del mismo, para lograr controlar un proceso es importante tratarlo como un sistema continuo en el tiempo, en el cual cada una de sus partes cumple una función y se interrelaciona con las demás. Todo sistema continuo en el tiempo se representa a través de una función de transferencia, la cual es una expresión matemática del modelo del sistema, formada por el cociente de dos polinomios expresados en transformada de Laplace.

Procedimiento del modelado

Para controlar el nivel de un líquido se requiere de una serie de subsistemas, los cuales reciben y entregan señales que representan las variables del proceso. Dichas señales son suministradas por sensores, ubicados en la entrada y salida del sistema, con el fin de retroalimentarlo y conocer su evolución para tomar decisiones sobre cómo manipular las variables del control de nivel del sistema.

El modelamiento matemático es un proceso que nos permite obtener una función de transferencia, primero vamos a entender cómo funciona el proceso a modelar, para ello usaremos el siguiente esquema utilizada frecuentemente para representar un proceso de control de nivel de líquido.

[pic 1]

Funcionamiento del sistema

En el sistema observamos un tanque de suministro para el líquido con altura H(t), que representa el nivel del líquido, cuya entrada es regulada por una electroválvula Vi(t), el nivel del líquido en el tanque se mide con un sensor que entrega una señal representada en un voltaje NI(t) al comparador de nivel, este tiene un valor de referencia NR(t) representado en un voltaje predeterminado.

El caudal de salida Qf(t) es medido por un sensor que entrega una señal de voltaje Vx(t) que se encuentra ubicado antes de la válvula manual que regula el caudal de salida, las señales entregadas por la salida del comparador de nivel NS(t) y el sensor de caudal Qx(t) se suman y dan como resultado una señal de voltaje T(t), que permite el funcionamiento del  motor eléctrico que permite la activación  de la electroválvula de entrada Vi(t), esto con el fin de que el sistema tenga un flujo continuo del caudal del líquido siempre y cuando  no se llene el tanque.

La válvula de salida Vs(t) es de tipo manual, por este motivo se le considera como una entrada, puesto que no depende de ninguna otra variable.

Ecuaciones del sistema

Motor eléctrico

El motor eléctrico es sistema de primer orden, tiene una ganancia estática m1 y una constante de tiempo Kt, con una entrada mediante una válvula Vi(t).

m1*G(t) = Vi(t) + Kt* dVi(t) / dt (1)

T(t) Tensión del motor de la válvula de entrada

NS(t) Tensión entregada por el comparador de nivel

Depósito de líquido

El tanque de depósito tiene como referencia unidades medibles: Volumen y Superficie.

A representa la superficie del depósito.

dH(t) / dt Corresponde la variación de la altura con respecto al tiempo.

Válvula de entrada

Permite el flujo del caudal del líquido en nuestro sistema.

Qi (t) caudal de entrada

K1 constante que representa el caudal que fluye por la válvula de entrada en litros por Segundo;

Vi(t) recorrido en grados de la válvula de entrada.

Sensores
Dispositivos que nos permiten medir las características del caudal:

Sensor de nivel

Corresponde a una función lineal NI(t) con una tensión constante Tn por cada metro de líquido H(t).

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