Momento De Inercia

Momento de inercia de una distribución de masas puntuales

Tenemos que calcular la cantidad

Donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.

Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de

• Un extremo

• De la segunda masa

• Del centro de masa

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es

IA=1•02+1•0.252+1•0.52+1•0.752+1•12=1.875 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es

IB=1•0.252+1•02+1•0.252+1•0.52+1•0.752=0.9375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es

IC=1•0.52+1•0.252+1•02+1•0.252+1•0.52=0.625 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.

La fórmula que tenemos que aplicar es

I=IC+Md2

• IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa

• I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior

• M es la masa total del sistema

• d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

IA=IC+5•0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

IB=IC+5•0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

Momento de inercia de una distribución continua de masa

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación

Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

• Aplicación directa del concepto de momento de inercia

• Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

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