Movimiento Curvilineo

Movimiento curvilíneo: Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando dicha partícula describe una trayectoria que no es recta.

En la naturaleza, así como en la técnica es muy corriente encontrarse con movimientos cuyas trayectorias no son líneas rectas, sino curvas. Estos movimientos son llamados curvilíneos, y se encuentran con más frecuencia que los rectilíneos. Por trayectorias curvas se mueven en el espacio cósmico los planetas, los satélites y en la Tierra se mueven así todos los medios de transporte, las partes de las máquinas, el agua de los ríos, el aire de la atmósfera. Durante este movimiento no se puede decir que varía solamente una coordenada del cuerpo. I por ejemplo el movimiento ocurre en el plano, entonces como se ve en la figura 1, durante el movimiento varían dos coordenadas: X e Y. La dirección del movimiento, es decir, la dirección del vector velocidad varía durante todo el tiempo que dure el movimiento. Además, varía la dirección del vector aceleración.

Velocidad

La velocidad del cuerpo en cualquier punto de una trayectoria curvilínea está dirigida tangencialmente a la trayectoria en este punto y su sentido coincide con el del movimiento del cuerpo en este punto. La velocidad en un punto de un movimiento curvilíneo es realmente tangencial, si observamos el trabajo sobre una piedra de amolar, al apretar sobre ella el extremo de un cuchillo de acero, saltarán de la misma pequeñas partículas en forma de chispa. Estas partículas volarán con una velocidad tangencial en el momento de saltar de la piedra, se ve muy bien que la dirección del vuelo de las chispas concuerdan siempre con la tangente a la circunferencia en este punto, y que el sentido de su movimiento coincide con el de la periferia de la piedra. Igualmente las gomas de una bicicleta al rodar salpican el fango en una dirección tangente a la circunferencia (ruedas), los guardafrenos evitan que el ciclista se salpique.

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea del cuerpo en diferentes puntos de la trayectoria curvilínea tiene direcciones diferentes. El módulo de esta velocidad puede ser el mismo en todos los puntos de la trayectoria o variar de punto a punto, de un instante a otro.

Aceleración

Durante el movimiento curvilíneo del cuerpo puntual, la dirección de la velocidad varía constantemente, aunque su módulo puede variar o no. Pero aunque esta no cambie modularmente nunca se podrá considerar constante, pues la velocidad es una magnitud vectorial y para las magnitudes vectoriales el módulo, la dirección y el sentido son igualmente importantes. Por esto el movimiento curvilíneo es un movimiento acelerado. Durante el movimiento rectilíneo con aceleración constante es justamente el módulo de la velocidad que varía. Además se conoce, que en este caso el vector aceleración está dirigido en el sentido del vector velocidad o contrario a este y que el módulo de la aceleración se determina por la variación del módulo de la velocidad en la unidad de tiempo. Así también se puede observar el movimiento curvilíneo, en el cual el módulo de la velocidad se mantiene constante, pero: ¿Cómo relacionar solamente la aceleración con la variación de la dirección del vector velocidad? ¿Cómo estará dirigida y a que será igual la aceleración? Está claro que el módulo, la dirección y el sentido de la aceleración están relacionados con la forma de la trayectoria curvilínea, pero no se puede observar cada una de las innumerables formas de las trayectorias curvas.El movimiento por cualquier trayectoria curvilínea se puede considerar como un movimiento por arcos de circunferencias de diferentes radios. Por esto, el problema de encontrar la aceleración de un movimiento curvilíneo radica en hallar la aceleración durante el movimiento uniforme del cuerpo por una circunferencia.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Supongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil.

Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición r en un instante t.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado ðr=r'-r en el intervalo de tiempo ðt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ðr entre el tiempo que ha empleado en desplazarse ðt.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P' de la figura.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia ðv=v'-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo ðt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como

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