Movimientos

MOVIMIENTO PARABOLICO

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.

En realidad, cuando se habla de cuerpos que se mueven en un campo gravitatorio central (como el de La Tierra), el movimiento es elíptico. En la superficie de la Tierra, ese movimiento es tan parecido a una parábola que perfectamente podemos calcular su trayectoria usando la ecuación matemática de una parábola. La ecuación de una elipse es bastante más compleja. Al lanzar una piedra al aire, la piedra intenta realizar una elipse en uno de cuyos focos está el centro de la Tierra. Al realizar esta elipse inmediatamente choca con el suelo y la piedra se para, pero su trayectoria es en realidad un "trozo" de elipse. Es cierto que ese "trozo" de elipse es casi idéntico a un "trozo" de parábola. Por ello utilizamos la ecuación de una parábola y lo llamamos "tiro parabólico". Si nos alejamos de la superficie de la Tierra sí tendríamos que utilizar una elipse (como en el caso de los satélites artificiales).

El movimiento parabólico puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

El tiro parabólico tiene las siguientes características:

• Conociendo la velocidad de salida (inicial), el ángulo de inclinación inicial y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocerá toda la trayectoria.

• Los ángulos de salida y llegada son iguales.

• La mayor distancia cubierta o alcance se logra con ángulos de salida de 45º.

• Para lograr la mayor distancia fijado el ángulo el factor más importante es la velocidad.

• Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.

Tipos De Movimiento Parabólico

Movimiento Semiparabòlico.

Ecuaciones del movimiento parabólico

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

1.

2.

Dónde:

Es el módulo de la velocidad inicial.

Es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

Es la aceleración de la gravedad.

Son dos vectores (vectores unitarios) en el plano.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

Que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.

En lo sucesivo

Que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.

En lo sucesivo

Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

: [ecu. 1]

Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

Que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

Deducción de la ecuación de la velocidad

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

Ecuación de la posición

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando de la siguiente ecuación diferencial:

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

Deducción de la ecuación de la posición. La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

EJEMPLO:

Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule:

a) La altura máxima.

b) El tiempo que permanece en el aire.

c) La distancia a la que llega al suelo.

d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado

Datos

Ángulo = 37° a) Ymax =? d) Vx =?

Vo = 20m/s b) t total =? Vy =?

g= -9.8 m/s^2 c) X =?

Paso 1

Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s

Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s

Paso 2

Calcular el tiempo de altura máxima, donde Voy = 0

Por lo tanto: t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 = 1.22.seg.

Pasó 3

Calcular

a) la altura máxima:

Ymax = Voy t + gt^2 / 2= 12.03 m/s (1.22s) + (( -9.8m/s^2) (1.22s) ^2) / 2 = 7.38m

Pasó 4

Calcular

b) el tiempo total. En este caso solo se multiplica el tiempo de altura máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura máxima.

T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.

Pasó 5

Calcular

El alcance máximo, para lo cual usaremos esta fórmula:

X = Vx t total = 15.97 m/s (2.44s) = 38.96 m.

Paso 6

Vfy = gt + Voy = (- 9.8) (1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s

Vfx = 15.97 m/s,

...