Método Montante

Inducción matemática

Demostrar

1.

2+4+6…+2n= n(n+1)

Sustituyendo n=1:

2 = 1 (1+1)

2 = 1(2)

2 = 2

Si n=k entonces

2+4+6…+2k= k(k+1)

Sumando 2+4+6…+2k= k(k+1) con (2[(k+1)]),

2+4+6…+2n+2(k+1)= (k+1)(k+1+1)

2+4+6…+2n+2(k+1)= (k+1) (k+2) ←-- Por demostrar

Reemplazando n por k+1

2+4+6…+2k+2(k+1)= k(k+1)+ 2(k+1)

Factorizando

2+4+6…+2k+2(k+1)= (k+1) (k+2) ←- Es similar a lo que se iba a demostrar entonces es correcta la relación

2.

Demuestra que para cualquier número natural n se cumple que n3 − n es divisible por 6.

1. Sustituyendo n=1

13 − 1 = 0 que es divisible por 6

Suponiendo que n = k, es decir, que k3 − k es divisible por 6, entonces:

k3 − k = 6p

comprobar si se cumple  para n = k + 1:

(k + 1)3 −(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1−k −1 = k3 + 3k2 + 2k = (k3 −k) + 3k2 + 3k = 6p+ 3k(k + 1)

El producto del número es múltiplo de 2, ya que alguno de ellos es par, se cumple que:

(k + 1)3 − (k + 1) = 6p + 3k(k + 1) = 6p + 3 · 2q = 6(p + q)

se concluye que es múltiplo de 6 y la propiedad es cierta para n = k + 1.

3.

Probar por inducción matemática que: (1) 1+3+5+...+2n-1=n2 se cumple para cualquier numero natural.

Sustituyendo n=1, obtenemos:

2(1)-1= (1)2

2-1=1

1=1

n=k entonces

1+3+5+...2k-1=k2 ←-hipótesis

1+3+5+…+2k-1 + 2(k+1)-1= (k+1)2 ←--- Por demostrar

Reemplazamiento de n por k+1

1+3+5+…+2k-1 + 2(k+1)-1 = k2+ 2(k+1)-1

1+3+5+…+2k-1 + 2(k+1)-1 = k2+ 2k+2-1

1+3+5+…+2k-1 + 2(k+1)-1 = k2+ 2k+1

Por factorización de trinomio cuadrado perfecto:

1+3+5+…+2k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1)2 ←-Es correcta la relación

4.

2+22+23…+2n=2(2n-1)

Si n=1

2+22+23…+21=2(21-1)

2+22+23…+2=2(2-1)

2+22+23…+2=2(1)

2+22+23…+2=2

Si n=k

2+22+23…+2k=2(2k-1) ←-Hipótesis

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