ONDA MECANICA

En un medio elástico no sometido a fuerzas volumétricas la ecuación de movimiento de una onda elástica que relaciona la velocidad de propagación con las tensiones existentes en el medio elástico vienen dadas, usando el convenio de sumación de Einstein, por:

(1)\frac{\part \sigma_{ij}}{\part x_j} =

\rho \left(\frac{\part v_i}{\part t} + v_j\frac{\part v_i}{\part x_j} \right)

Donde \rho\, es la densidad y el término entre paréntesis del segundo término coincide con la aceleración o derivada segunda del desplazamiento. Reescribiendo la ecuación anterior en términos de los desplazamientos producidos por la onda elástica, mediante las ecuaciones de Lamé-Hooke y las relaciones del tensor deformación con el vector desplazamiento, tenemos:

(2a)\frac{E}{2(1+\nu)}\frac{\part^2 u_i}{\part x_k^2} +

\frac{E}{2(1+\nu)(1-2\nu)}\frac{\part^2 u_k}{\part x_k \part x_i} = \rho \ddot{u}_i

Que escrita en la forma vectorial convencional resulta:

(2b)\frac{E}{2(1+\nu)}\Delta\mathbf{u} + \frac{E}{2(1+\nu)(1-2\nu)}\boldsymbol{\nabla}( \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{u})=\rho\ddot{\mathbf{u}}

Ondas planas[editar]

Artículo principal: Onda plana

En general una onda elástica puede ser una combinación de ondas longitudinales y de ondas transversales. Una manera simple de demostrar esto es considerar la propagación de ondas planas en las que el vector de desplazamientos provocados por el paso de la onda tiene la forma \mathbf{u}=\mathbf{u}(x,t). En este caso la ecuación (2b) se reduce para una onda plana a:

\frac{\part^2u_x}{\part t^2} = \frac{1}{v_L^2} \frac{\part^2u_x}{\part x^2},

\qquad \frac{\part^2u_y}{\part t^2} = \frac{1}{v_T^2} \frac{\part^2u_y}{\part x^2},

\qquad \frac{\part^2u_z}{\part t^2} = \frac{1}{v_T^2} \frac{\part^2u_z}{\part x^2}

En las ecuaciones anteriores la componente X es una onda longitudinal que se propaga con velocidad v_L mientras que la componente en las otras dos direcciones es transversal y se se propaga con velocidad v_T. Donde la velocidad de la onda longitudinal y de la onda transversal vienen dadas por:

v_L = \sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}} = \sqrt{\frac{E(1-\nu)}{\rho(1+\nu)(1-2\nu)}},

\qquad v_T = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} = \sqrt{\frac{E}{2\rho(1+\nu)}}

Siendo:

E, \nu\,, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson, respectivamente.

Ondas P y S[editar]

Una onda elástica que responde a la ecuación (2b) puede descomponerse, mediante la descomposición de Helmholtz para campos vectoriales, en una componente longitudinal a lo largo de la dirección de propagación de la propagación y una onda transversal a la misma. Estas dos componentes se llaman usualmente componente P (onda Primaria) y componente S (onda Secundaria).

Para ver esto se define los potenciales de Helmholtz del campo de desplazamiento:

\mathbf{u} = \mathbf{u}_L

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