Optimización es un proceso matemático

Optimización Resumen

Autor: Sergio Andrés Ruiz

Optimización.

La optimización es un proceso matemático con el fin de maximizar o minimizar una característica de un sistema, este proceso esta determinado por ciertas restricciones; en forma de ecuaciones o inecuaciones. La optimización matemática es usada en ingeniería química para la toma de decisiones, el ingeniero químico se enfrenta al problema constante de acrecentar el rendimiento del sistema. En su campo laboral se puede encontrar con diferentes problemas tales como reducir el costo de operación y a la vez conservar un grado aceptable de servicio, o mejorar un aspecto de la calidad del producto sin disminuir la calidad de otros aspectos. A fin de identificar una mejoría, el ingeniero construye un modelo compendiado, que puede usarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas. Para la optimización se requiere tener claro lo que se necesita optimizar, comprender las restricciones y tener una manera de representar el proceso matemáticamente.

Con el fin de, comprender la optimización se necesita conocer las siguientes definiciones:

• Función objetivo: Modelo de lo que se desea maximizar o minimizar.
• Variables: Elementos que pueden ser modificados para influir en el valor de la función objetivo.
• Restricciones: Son igualdades o desigualdades que limitan la cantidad de variables que pueden ser alteradas, impuestas por el diseño, el modelo matemático o el equipo.
• Mínimo: Es un punto donde la función objetivo no va a disminuir aún cuando la(s) variable(s) sea renovada.
• Máximo: Es el punto donde la función objetivo no se incrementa cuando la(s) variable(s) es modificada en cierta cantidad.

Cuando se intenta minimizar una función objetivo f(x) que posee una variable única, existen dos mínimos locales y hay un mínimo global.

En el caso de tener más de dos variables, no se puede encontrar el punto óptimo de forma gráfica, así que se recurre a la optimización matemática. Para ello se debe saber que maximizar una función es equivalente a minimizar lo negativo de la función:

max (f (x)) ⇔ min (− f (x))

Se debe recordar que la primera derivada, es la velocidad de cambio de la función. Mientras que, la segunda derivada es la velocidad de cambio de la primera derivada. La pendiente de la primera derivada es cero en los máximos y mínimos. Por otro lado, la segunda derivada es negativa en los máximos y es positiva en los mínimos.

Para, una optimización no restringida se usan los anteriores elementos de cálculo para encontrar el mínimo o máximo según sea el caso, se calcula en orden la primera derivada y por último la segunda derivada.

También, se debe mencionar el concepto de la región factible, es el conjunto de soluciones que satisfacen las restricciones de un problema de optimización. En esta región se encuentra el punto óptimo y se pueden presentar los siguientes casos especiales:

• Sí la región factible es sólo un punto, en este caso las restricciones son un sistema de ecuaciones.
• Sí las restricciones están en conflicto, entonces no existe la región factible.

Igualmente, corresponde saber que es una función convexa; geometricamente es cuando la línea que conecta dos puntos cualquiera de la función nunca es menor que los valores de la función entre los dos puntos, ya que si se tiene una función convexa y las restricciones forman un conjunto convexo. Por consiguiete sólo hay un mínimo de la función, el cual sera el mínimo global.

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