Parabola

PARÁBOLA

Su formación, analíticamente es a través de una recta estática llamada Recta Directriz y un punto estático llamado Foco; de manera que al tomar cualquier punto (Q_0) del espacio se cumpla:

d(Q_0,L)= |(Q_0 F) ̅ |

La distancia del punto a la recta es la misma que la distancia del punto al foco

Todos los puntos que cumplan esta condición formaran parte del trazo de la Parábola.

Recta Directriz ( L )

Características principales:

1.- La recta directriz y el eje Focal son ortogonales.

2.- El lado recto igualmente es perpendicular al Eje Focal.

3.- La distancia del Vértice al Foco, es la misma que del Vértice a la recta directriz, de tal manera que el Vértice es el punto medio entre el Foco y la recta L. Esta distancia también se conoce como parámetro “P” de la Parábola. |(VF) ̅ |=|(VQ) ̅ |=P

4.- Se conoce como la excentricidad de la Parábola, al cociente entre la distancia de M al foco y la distancia entre M y la recta L.

e=|(MF) ̅ |/|(ML) ̅ | =1

En adelante cuando se refiera a los puntos característicos de la parábola, estos son:

V = Vértice F = Foco P = parámetro e = Excentricidad

L = Recta Directriz (ecuación) L*= Recta o Eje Focal (ecuación)

M, N= Coordenadas del Lado Recto

Q = Punto que indica ecuaciones generales de rectas L y L*

La ecuación General de toda cónica es:

〖AX〗^2+〖BY〗^2+CX+DY+EXY+F=0

Cuando aparezca el término (XY), debe aplicarse, transformación de coordenadas, que consiste en Trasladar el eje de coordenadas y luego rotarlas en sentido antihorario, cuando se hace esta transformación el término (XY) desaparece y podemos deducir el tipo de cónica.

De ser este caso una parábola su representación grafica podría ser:

Es decir puede estar en cualquier cuadrante y en cualquier posición, son difíciles de trabajar, por lo cual se requiere de transformación de coordenadas.

Solo vamos a tratar con ecuaciones que no tienen el término “xy” y tienen una característica que permite identificarlas.

Cuando la ecuación de una Cónica ha sido transformada y resulta la ecuación:

❶ Ax^2+Bx+Cy+D=0 ò ❷ Ay^2+By+Cx+D=0

Fíjese que ya no está el término “xy”; y en cualquiera de las ecuaciones solo se encuentra una variable cuadrática o elevada al cuadrado y la otra variable es lineal; esta es la característica de una parábola.

Por ejemplo tomemos la ecuación ① Sea: 2x^2+8x+3y-4=0

Reduciendo esta ecuación casi como se hace con una circunferencia; en este caso la variable cuadrática es “x” y la variable lineal es “y”

Ordenamos:2x^2+8x=-3y+4 ⇒dividiendo todo entre "2"; x^2+4x=-3/2 y+2

(x+2)^2-4=-3/2 y+2 ⇒ (x+2)^2=-3/2 y+6 finalmente:

podemos expresarla: 〖(x+2)〗^2=-3/2(y-4)

El modelo es el que se expresa a continuación:

〖(x-h)〗^2=4p(y-k)

Representa a una parábola con vértice de coordenadas (h,k); el término o variable lineal indica que el Eje Focal es paralelo al Eje Y.

Solo observe el signo de (4p) si es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si es negativo la parábola se abre hacia abajo.

Grafica:

Y

X

Para nuestro ejemplo 〖(x+2)〗^2=-3/2(y-4),

Resulta que el vértice es V= (-2,4) y el eje focal es paralelo al eje “y”.

El término donde se encuentra el parámetro 4P = -3/2 , “es negativo”; luego P = - 3/8.

Recuerde que el parámetro es una medida y el signo solo es un indicador para abrir la parábola en este caso hacia abajo.

Grafiquemos:

El resto de elementos los puede colocar de manera intuitiva es decir el Foco que debe ir dentro de la curvatura, la recta Directriz ortogonal a la recta Focal y fuera de la curvatura, finalmente el Lado recto, que pasa por el Foco y ortogonal a la recta focal.

Ahora tomemos la ecuación ② Sea: 3y^2+6y-5y-9=0

Reduciendo esta ecuación; en este caso la variable cuadrática es “y” y la variable lineal

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