Pitagoras E Euclides

TEOREMA GENERAL DE PITAGORAS

&

TEOREMA DE EUCLIDES

INTEGRANTES: ROCIO CRESPO

BRYAN BENITES

RODRIGO GONZALEZ

Introducción

El conocimiento del teorema de Pitágoras es milenario y no obstante que ha sido demostrado en muchas formas diferentes y de que aparentemente ya se conoce todo con respecto a este teorema, muchas propiedades sorprendentes de la ecuación Pitagórica han permanecido ocultas.

El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.

El teorema se enuncia así:

c2 = a2+ b2

Hipotenusa al cuadrado = cateto a al cuadrado + cateto b al cuadrado

Donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo).

El teorema postulado por Euclides, quien fue un matemático y filósofo griego que en su época fue uno de los influyentes más importantes en el desarrollo de las matemáticas. Una de sus obras Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado como texto de estudios cerca de 2000 años, veinte siglos, sin que se le hicieran correcciones de importancia, salvo pequeñas modificaciones. Hay que destacar también que el teorema de Euclides está muy relacionado con el teorema de Pitágoras, ya sea porque el segundo puede ser demostrado a partir del primero, o bien porque en la resolución de los ejercicios la determinación de algunos lados necesita de ambos teoremas.

TEOREMA DE PITAGORAS

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados. Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

a2 = b2 + c2

Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,

c2 = a • m, b2 = a • n

Teorema de Pitágoras

• Demostración del teorema de Pitágoras por diversos métodos

En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al opuesto al ángulo recto, hipotenusa.

La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también semejantes al original.

El teorema de Pitágoras señala:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Dicho de otra manera: En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los

catetos.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:

c2 = a2+b2

Donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo).

El cuadrito en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide exactamente 90°)

Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo:

Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:

c2 = (3)2 + (4)2

Elevando al cuadrado, eso da:

c2 = 9 +16 = 25

para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:

O sea que c = 5.

Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.

Así por ejemplo, en el triángulo:

Hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando:

c2- b2 = a2

Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:

a2 = c2 - b2

y ya está despejada.

Sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12)

a2 = (15)2 - (12)2

Elevamos al cuadrado y queda:

a2 = 225 - 144 = 81

Finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a:

Demostración mediante el cálculo de áreas

La primera demostración se basa en el hecho de que dos cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud deben tener la misma área.

También se usa el cálculo del área de una figura mediante la suma de las áreas de las partes en que se divide dicha figura.

El triángulo ABC es rectángulo.

El

C = 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

Se construyen dos cuadrados de lado a + b y se divide esta longitud en segmentos de longitudes a y b, como se muestra en las figuras.

Puesto que los dos cuadrados tienen lados de longitud a + b, los dos tienen la misma área.

El área del cuadrado que se dividió en cuadrados y rectángulos es:

A = a 2 + 2ab + b 2

Como las áreas son iguales, se tiene 2ab + c2 = a2 + 2ab + b2. Restando 2 ab de ambos miembros de la igualdad se llega a:

c 2 = a 2 + b 2

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Demostración usando longitudes de segmentos

Si en lugar de las áreas se consideran longitudes de segmentos, el teorema de Pitágoras se puede enunciar

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