Politopo

Politopo

Una clase especial de politopos son los politopos convexos, el casco convexo o envoltura convexa de un conjunto finito de puntos. Los politopos convexos también pueden representarse como la intersección de hemiespacios. Esta intersección puede escribirse como la desigualdad matricial , donde A es una matriz de n por m, con n el número de hemiespacios y m el número de dimensiones del politopo, y b un vector de n por 1 columna. Los coeficientes de cada fila de A y b se corresponden con los coeficientes de la desigualdad lineal que define al respectivo hemiespacio (véase hiperplano para una explicación más detallada). En consecuencia, cada fila de la matriz se corresponde con uno de los hiperplanos que delimitan el politopo.

Conjunto Convexo

Una parte C de un espacio vectorial real es convexa si para cada par de puntos de C, el segmento que los une está totalmente incluido en C; es decir, un conjunto es convexo si se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en línea recta, sin salir del mismo.

Definición formal: C es convexo si y solo si para todo y :

Es decir,

Poliedro

Un poliedro convexo es la envolvente convexa de un subconjunto finito del espacio

Euclídeo R3. Equivalentemente, es un sólido convexo delimitado por caras planas.

Un poco más delicada es la definición exacta de poliedro no convexo. De hecho,

pendiendo de lo que uno quiera hacer con sus poliedros, necesita una definición

más amplia o más restrictiva. Por ejemplo, la famosa fórmula de Euler

caras + vértices = aristas + 2;

es válida para poliedros no convexos siempre que no tengan "agujeros". (De manera

técnica, siempre que tanto la superficie del poliedro como cada una de las caras

Poliedros y politopos 67

sean "simplemente conexas"). Pero en este escrito, cuando decimos "poliedro"

estaremos siempre refiriéndonos a "poliedros convexos".

Cono convexo

generado por n puntos es el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes positivos de esos puntos. En este caso los n puntos se llaman generadores del cono.

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