Progesiones

 Definición de sucesión: una sucesión numérica no es más que una lista, o serie, ordenada de números reales.

 Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, pero cada vez en una posición distinta.

 El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin nin¬guna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación.

Conceptos:

 Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas:

 Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la suce-sión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ...

 Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.

 Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del térmi¬no, y b es el valor numérico del término.

 Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...

 Ejemplo: nos dice que el término séptimo de la serie tiene el valor numérico asociado de treinta y siete cuartos.

 Término general: es la forma en la que nos referiremos a un término cual-quiera de la sucesión, se suele indicar por etc. ..

 Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo:

 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.

 Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepe-núltimo, en general el y el , es decir , etc. ...

 Clases de sucesión:

 Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc.



 Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.



 Formas de expresar una sucesión:

 Describiendo los términos, una sucesión queda bien determinada siempre que sean conocidos los primeros términos y la ley por la cual pueden obtenerse nuevos términos, o bien, a través de la propiedad que caracteriza a cada uno de sus términos, por ejemplo:

 Los números naturales acabados en siete:

 Los múltiplos de siete:

 Reproducir “literalmente”, pero utilizando cifras, lo que esta escrito en el término justo anterior:

• , ya que el primero es “un uno”, por lo que el segundo son “dos uno”, el tercero “un dos un uno”, etc. ...

 Mediante una expresión analítica, o fórmula del término gene-ral, ya que en estos casos basta con ir dando valores al contador del término general para ir obteniendo todos y cada uno de los términos de la sucesión, por ejemplo:

 , vamos dando a n valores naturales empezando por 1, así, , , , etc. ... y nos queda-ría la sucesión

 Mediante una ley de recurrencia, es decir, una relación entre un térmi-no cualquiera y los anteriores, o entre un término, los anteriores y el lugar que éste ocupa, por ejemplo:

 Un término cualquiera es igual a la suma de los dos que le preceden, es decir , si partimos de a1 = 1, y a2 = 1, obtenemos la suce-sión , conocida como sucesión de Fibonacci.

 Ley , con a1 = 1, obtenemos

 , si suponemos que a ambos lados del primer uno y a la izquierda de los que están a la izquierda, y a la derecha de los que están a la derecha, hay ceros, 0, cada fila se obtiene poniendo entre medias de los números de la fila anterior la suma de éstos. Esta estructura es conocida como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia, y las suce-siones que con él se forman son de lo más variopinto, la propia de Fibona-cci se encuentra dentro de esta estructura.

• Por ejemplo, sumando todos los números de cada fila se obtiene la sucesión de potencias de 2, la segunda diagonal empezando por la derecha, de izquierda a derecha, es la sucesión de los números na-turales, la tercera es la sucesión de los números triangulares, o mo¬do de apilar bolas sobre un plano, poniendo en cada fila las bolas apiladas a la fila anterior en los huecos que quedan entre cada dos bolas, así:

 etc. ...

 Practica un poco:

a) Escribe los cinco primeros términos de

...