Proyecto de Estudios Matemáticos NM

Proyecto de Estudios Matemáticos NM

Aplicación del método de aproximación de triángulos y análisis matricial mediante el método de Gauss, Cramer y Leibniz de 3x3, en el cálculo del área de una Máscara de oro de la cultura “La Tolita” (600 a.C. – 400 d.C.).

Código: hwj244

Candidato: Marilyn Avila

Número de palabras:

Introducción

Luego de una visita al museo de La Casa de la Cultura Ecuatoriana, he observado varias figuras de distintas culturas de la antigüedad. Lo que me ha llamado mucho la atención tiene que ver con su variedad de formas, por lo que me surge la curiosidad de saber si desde tiempos antiguos se aplicaban las matemáticas para la construcción de dichas figuras. Usando temas de cálculo matricial de 3x3 para poder calcular el área de una figura en específico: Máscara que representa un personaje en oro, de la cultura La Tolita (600 a.C. – 400 d.C.). El objetivo del siguiente proyecto es calcular el área de figuras de culturas antiguas mediante el método de aproximación de triángulos y operación de matrices haciendo uso del programa Geogebra. La matemática simple a usar en este trabajo es el cálculo de áreas en el plano cartesiano, teorema de Pitágoras, puntos medios en una recta en el plano, por otro lado, en matemática compleja se usarán las operaciones, tales como; cálculo del determinante por el método de gauss, método de Leibniz(menores) y Cramer en matrices de 3x3, para calcular el área según el teorema:  . Mi plan de trabajo consiste en seleccionar las fotos tomadas, luego de la visita al  museo, en la que exista la facilidad de calcular su área en una de ellas. Luego de esto,  se insertará la foto en la hoja de trabajo de Geogebra en el plano cartesiano, de esta manera se formarán triángulos tratando de aproximar toda el área y asignando nombres a cada uno de ellos con los puntos que dan origen a los triángulos se formarán las matrices, para luego proceder a calcular el determinante por cada método; Gauss, Leibniz y Gramer. Finalmente, establecer conclusiones de acuerdo con el objetivo plateado anteriormente.[pic 1]

DATOS OBTENIDOS DESDE GEOGEBRA

Para aquirir la fotografia tuve que visitar el museo de la ciudad en Quito Ecuador donde se exponen figuras de las culturas que permnecieron durante milenios en nuestro país, para hacer éste trabajo tomé como proyecto a la cultura TOLITA Ecuador..(600AC), MÁCARA DE ORO .

[pic 2]

FIGURA1. Rostro de oro simulado geogebra

En la figura1. Se muestra la imagen de la mascara de oro, ubicados puntos en elplano cartesiano con el objetivo de formar  de triangulos los cuales me servirán para formar las matrices y calcular el determinante, con el fin de tener una aproximación al cálculo total del área, mediante el método conocido de Triangulación, que en la actualidad se usa en aplicaciones en celulares para mejorar las fotos  en rostros o diferentes entretenimientos.

[pic 3]

Figura2: Distribucion de puntos y segmentos que forman triangulos

En la figura 2, tenemos la distribucion de puntos y segmentsos en el plano cartesiano simulados en el  programa geogebra  para posteriormente usarlos de tres en tres para formar los triángulos, que se evidencian en la gráfica de la figura1.

CALCULOS.

Al investigar el metodo de triangulación es decir formando triangulos en el plano se puede hallar el área, usamos la formula se observa el uso del determinante para  hallar el área de un triangulo,  a continuacion usaremos los siguientes metodos, con distintos triángulos.[pic 4]

1. Método de Cramer

Para el triángulo1, tenemos los siguientes puntos

 G (3.14 ; 11.24) [pic 5]

    C (6.74 ; 8.76)

     H (9.36 ; 11.22)

Se forma la matriz cuadrada con los tres puntos que forman el tri´àngulo y con una columna de unos

[pic 6]

Se procede a calcular el determinante con el método dicho al inicio

Det ([pic 7]

Det ([pic 8]

Det ([pic 9]

Det ([pic 10]

     Entonces, se calcula es área del primer triangulo;

Área ([pic 11]

Área ([pic 12]

Área ([pic 13]

1. Método de Gauss

Para el triángulo 2: tenemos los siguientes puntos

 C (6.74 ; 8.76) [pic 14]

    D (5.54 ; 6.54)

     F (9,08 ; 6.42)

Formamos la matriz cuadrada, realizando los procesos correspondientes del método de gauss para formar una matriz trinagular superior que es el objetivo

[pic 15]

            [pic 16]

                [pic 17]

[pic 18]

            [pic 19]

[pic 20]

            [pic 21]

[pic 22]

     El determinante en una matriz triangular superior, se halla multiplicando los elementos de la diagonal principal, entonces tenemos.

Det ([pic 23]

Det ([pic 24]

     Como se cambió una columna se añade (-) al determinante.

Det ([pic 25]

     Como se multiplicó , se divide al determinante, es decir;[pic 26]

Det ([pic 27]

Det ([pic 28]

     Entonces, se calcula es área del segundo triangulo;

Área ([pic 29]

Área ([pic 30]

Área ([pic 31]

1. Método de Leibniz

Para el triángulo 2: tenemos los siguientes puntos

 H (  9.36   ;  11.22) [pic 32]

        C (  6.74   ;    8.76)

         I  (10.26    ;   7.92)

Formamos la matrríz cudrada con los puntos del triángulo

[pic 33]

Según éste método debemos formar  submatrices y luego hallamos el determinante de cada una, siguiendo la matriz de signos según el método, entonces.

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