Proyecvto De Esdtructuras

3.2. MÉTODO DE FLEXIBILIDADES APLICADO A MARCOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS

1.- Calcular las reacciones correspondientes a las cargas indicadas. E e I son constantes.

SOLUCIÓN.

Verificación del grado de indeterminación.

Para el marco mostrado, el número de nodos es j=3(A;B;C) y no hay condiciones impuestas por la construcción, es decir c=0.

La estructura está compuesta por la cantidad de m=2(AB;CB) miembros. Tanto en el pasador (apoyo articulado) A como en el B hay dos incógnitas de reacción, una horizontal y una vertical, por lo que r=4(R_AX;R_AY;R_CX;R_CY ).

como 3m+r>3j+c ya que 3(2)+4>3(3)+0⇒10>9 el marco es estáticamente indeterminado con un grado de 10-9=1.

Elección de la fuerza redundante y planteamiento de la estructura primaria.

Se optará porque R_CX sea la fuerza redundante. En consecuencia, en la estructura primaria, el apoyo articulado (pasador) en C se reemplaza por un apoyo simple (rodillo u oscilador), puesto que éste último soporte no restringirá C en la dirección horizontal ya que se está eliminando la reacción redundante elegida. Esta nueva estructura (MIF 1) es isostática, estable (de ningún modo debe ser inestable) y está sometida a las mismas cargas que la estáticamente indeterminada (hiperestática).

Principio de superposición.

El marco real u original (MR) es equivalente a la suma de una serie de estructuras isostáticas conformada por la estructura primaria y otro número de estructuras igual al número de redundantes elegidas. Entonces, el marco hiperestático de este ejemplo es igual a MIF 1 más otro marco que aquí hemos etiquetado como MIF II.

La estructura primaria y su subsecuente (MIF II) deben tener entre sí la misma geometría e idénticas condiciones de apoyo con la diferencia de que la segunda en lugar de estar sometida a las cargas externas originales, únicamente soporta a la redundante elegida (R_CX) de sentido arbitrario (en este caso se propone hacia la izquierda). De acuerdo a lo anterior, el marco real u original(MR) es igual a la suma de las siguientes estructuras:

MR=MIF 1+MIF II

Estructura primaria⟹MIF 1(Estructura M)

Este marco (MIF 1), contrariamente al marco original o real, experimenta un desplazamiento horizontal en el punto C (〖∆_HC〗_MIF1=d_1 ).

Estructura liberada con fuerza redundante R_CX aplicada⟹MIF II

En éste marco, C se desplaza horizontalmente una cantidad de

〖∆_HC〗_MIFII=R_CX (f_11 )

Planteamiento de la ecuación de compatibilidad geométrica.

Para obtener una ecuación adicional que haga posible la solución del problema hacemos uso del principio de superposición formulado anteriormente y tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento horizontal en el soporte articulado C. Por lo tanto, la ecuación de compatibilidad geométrica para el desplazamiento horizontal en C es

〖∆_HC〗_MIF1+〖∆_HC〗_MIFII=〖∆_HC〗_MR---(1)

El lenguaje algebraico anterior se traduce al lenguaje cotidiano como: el desplazamiento horizontal en el punto C de la estructura MIF 1 más el desplazamiento horizontal en el punto C de la estructura MIF II es igual al desplazamiento horizontal en el punto C del marco real MR.

Obsérvese que en el punto C del marco real (MR) no se produce desplazamiento horizontal alguno ya que la reacción en esa dirección del soporte articulado ahí situado lo impide, así que 〖∆_HC〗_MR es nulo. Efectuando las sustituciones correspondientes, la ecuación (1) puede escribirse del siguiente modo

d_1+f_11 R_CX=0---(2)

Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga horizontal en el punto C correspondiente a la fuerza redundante, el coeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente al calcular el desplazamiento horizontal en ese mismo punto por lo que 〖∆_HC〗_MIF2=f_11.

Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en C⟹MIF 2(Estructura m)

Cálculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de ecuaciones de compatibilidad.

En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF 2 es necesario determinar el valor del desplazamiento horizontal en C ya que R_CX (fuerza reactiva horizontal en el pasador del punto C) fue suprimida en el marco hiperestático.

Los valores de los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los métodos explicados en el tema 1.6 para marcos. En este ejemplo se utilizará el método del trabajo virtual, debido a que es lo más recomendable. Para su sencilla aplicación, le hemos denominado estructura M a la primaria y estructura m a la liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en C. Es importante recordar que las coordenadas x a emplear en los cortes tienen que ser iguales y las direcciones positivas de los momentos tampoco deben cambiar entre las dos estructuras recién mencionadas. La primera expresión nos indica que d_1 es el desplazamiento horizontal en el punto C del marco MIF 1 y que se determinará aplicando la ecuación del trabajo virtual la cual requiere de la combinación adecuada de los Momentos internos M con los Momentos internos m; por su parte, la segunda expresión nos dice que f_11 es el desplazamiento horizontal en el punto C del marco MIF 2 y que se calculará utilizando la ecuación del trabajo virtual la cual necesita de la combinación propia de los Momentos internos m con los Momentos internos m.

d_1=〖∆_HC〗_MIF1=∫_(L_1)^(L_2)▒〖Mm/EI dx〗

f_11=〖∆_HC〗_MIF2=∫_(L_1)^(L_2)▒〖mm/EI dx〗

Análisis de la estructura isostática MIF 1.

Cálculo de las reacciones en los apoyos.

+∑▒MA=0⇒-21(8)-7(18)+R_CY (21)=0⇒∴R_CY=14k

+↑∑▒〖FY=0〗⇒R_AY-21+14-7=0⇒∴R_AY=14k

+→∑▒FX=0⇒R_AX=0

Por trigonometría

Longitud del miembro inclinado=L_CB=√(8^2+6^2 )=10´

a=1/2 L_CB=1/2 (10´)=5´;sin⁡θ=6/10=3/5;cos⁡θ=8/10=4/5

Cálculo de las componentes rectangulares.

*Para F=7k

F_(Y´)=F cos⁡θ=7k(4/5)=5.6k

F_(X´)=F sin⁡θ=7k(3/5)=4.2k

*Para R_CY=14k

R_CYY=R_CY cos⁡θ=14k(4/5)=10.2k

R_CYX=R_CY sin⁡θ=14k(3/5)=8.4k

Momentos internos M.

Miembro AB

0≤x_1≤8´

+∑▒〖Mcorte=0〗

-14(x_1 )+M_1=0⇒M_1=14x_1

Miembro CB

0≤x_3≤5´

+∑▒〖Mcorte=0〗

-M_3-8.4(x_3 )=0

M_3=-8.4x_3

0≤x_4≤5´

+∑▒〖Mcorte=0〗

-M_4+4.2(x_4 )-8.4(x_4+5)=0

-M_4+4.2x_4-8.4x_4-42=0

M_4=-4.2x_4-42

...