Quimica función vectorial

Ejercicio 1: Hallar la primitiva de la siguiente función vectorial r´(t)=sec^2⁡〖(t)i-2 tan⁡〖(t)j+4t^3 k〗 〗

Que satisface la condición: r(π/4)=2i+5.307j-9.619k

Solución:

r(t)=∫▒〖r´(t)dt〗∴

r(t)=(∫▒〖sec^2⁡t dt〗)i+(∫▒〖-2 tan⁡tdt 〗)j+(∫▒〖4t^3 dt〗)k

r(t)=(tan⁡t+C_1 )i+(-2 ln⁡〖|sec⁡t |+C_2 〗 )j+(t^4+C_3 )k

r(t)=(tan⁡t+C_1 )i+(2 ln⁡〖|cos⁡t |+C_2 〗 )j+(t^4+C_3 )k

Haciendo t=π/4 y usando el hecho que r(π/4)=2i+5.307j-9.619k∴

r(π/4)=(1+C_1 )i+(-0.69314718+C_2 )j+(0.380504261+C_3 )k∴

2i+5.307j+(-9.619)k=(1+C_1 )i+(-0.69314718+C_2 )j+(0.380504261+C_3 )k∴

2=1+C_1 ∴ C_1=1

5.307=-0.69314718+C_2 ∴ C_2=6.0014716

-9.619=0.380504261+C_3 ∴ C_3=-9.999504261⟹

Si C_1=1, C_2=6 y C_3=-10

La primitiva que cumple la condición inicial es:

r(t)=(tan⁡〖t+1〗 )i+(2 ln⁡〖|cos⁡t |+6〗 )j+(t^4-10)k

Ejercicio 2: Hallar la longitud de arco de la curva vectorial (20 pts.)

r(t)=t^3 i+〖2t〗^2 jen el intervalo[0,1]

r´(t)=3t^2 i+4tj∴

s=∫_a^b▒〖‖r´(t)dt‖∴〗 s=∫_0^1▒〖√((3t^2 )^2+(4t)^2 ) dt=∫_0^1▒〖√(9t^4+16t^2 ) dt=∫_0^1▒〖√(t^2 (9t^2+16) ) dt〗〗〗

s=∫_0^1▒〖t√(9t^2+16)〗 dt sea u=9t^2+16 ⟹du=18tdt ⟹du/18=tdt⟹

s=∫_0^1▒〖u^(1/2)∙du/18=1/18 ∫_0^1▒〖u^(1/2) du=1/18 [2/3 u^(3/2) ] ■(1@0)=1/18 [2/3 (9t^2+16)^(3/2) ] 〗〗 ■(1@0)=[1/27 (9t^2+16)^(3/2) ] ■(1@0)

s=125/27-64/27=61/27 u

Ejercicio 3: Hallar T(t) y T(2),N(t) y N(2) para la curva representada por: (20 pts.)

r(t)=(3t^2-5t)i+(4t^3+2t)j+5t^2 k

Solución: En este caso como el objetivo es hallar T(2) y N(2), omitiremos el paso de hallar T(t) y N(t) y hallaremos de forma directa T(2) y N(2).

r´(t)=(6t-5)i+(12t^2+2)+10tk

r´(2)=7i+50i+20k

‖r´(2) ‖=√2949

T(2)=(r´(2))/‖r´(2) ‖ =(7i+50i+20k)/√2949

r´´(t)=6i+24tj+10k

r´´(2)=6i+48j+10k

‖r´´(2) ‖=√2440=2√610

N(2)=(r´´(2))/‖r´´(2) ‖ =(6i+24tj+10k)/(2√610)=2(3i+24j+5k)/(2√610)=(3i+24j+5k)/√610

Ejercicio 4: Calcular la torsión de la curva alabeada de función vectorial (20 pts.)

r(t)=ti+t^2 j+t^3 k

En los puntos A(1,1,1)y B(3,9,27)

Solución:

τ(t)=([r´(t)×r´´(t) ]∙r´´´(t))/‖r´(t)×r´´(t) ‖^2 .Calculando las componentes de la fórmula tenemos que:

r´(t)=i+2tj+3t^2 k

r´´(t)=0i+2j+6tk

r´´´(t)=0i+0j+6k

r´(t)×r´´(t)=(■(i&j&k@1&2t&3t^2@0&2&6t@i&j&k@1&2t&3t^2 ))=(12t^2-6t^2 )i+(0-6t)j+(2-0)k=6t^2 i-6tj+2k∴

[r´(t)×r´´(t) ]∙r´´´(t)=(6t^2 i-6tj+2k)∙(0i+0j+6k)=12

‖r´(t)×r´´(t) ‖^2=(√((6t^2 )^2+(-6t)^2+(2)^2 ))^2=36t^4+36t^2+4∴

τ(t)=12/(36t^4+36t^2+4)=12/4(9t^4+9t^2+1) =3/(9t^4+9t^2+1)

Calculando la torsión en los puntos A y B tenemos que:

En A(1,1,1)si t=1 ∴ τ(1)=3/(9(1)^4+9(1)^2+1)=3/(9+9+1)=3/19

En B(3,9,27)si t=3 ∴ τ(3)=3/(9(3)^4+9(3)^2+1)=3/(729+81+1)=3/811

Ejercicio 5: Utilizando la regla de la cadena (20 pts.)

Hallar ∂w/∂s y ∂w/∂t cuando s=1,t=2π para la función

w=xy+yz+xz

Donde∶x=s cos⁡t,y=s sin⁡t y z=t

Solución:

Sustituyendo lo valores de x, y y z en la ecuación w=xy+yz+xz obtenemos

w=(s cos⁡t )(s sin⁡t )+(s sin⁡t )(t)+(s cos⁡t )(t)

w= s^2 cos⁡t sin⁡t+st sin⁡t+st cos⁡t

Ahora para hallar ∂w/∂s,mantenemos t constante y derivamos respecto de s

∂w/∂s=2(cos⁡t sin⁡t )s+t sin⁡t+t cos⁡t

Análogamente para hallar ∂w/∂t,mantenemos s constante y derivamos respecto

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