Reactores

y para que esto sea cierto

A2= 2A1

C2= C4

Entonces K5= 0.5

Con esta información, la ecuación (4-31) se convierte en

(H_2 (s)¬)/(Q_0 (s))=((-K_4 K_5)/(τs+1)^2 )/(1-K_5/〖(τs+1)〗^2 )=(-K_4 K_5)/(τ^2 s^2+2τs+(1-K_5))

Las raíces del denominador son

Raices=(-(1+√(K_5 )))/τ (-(1-√(K_5 )))/τ

De lo cual se obtienen dos constantes de tiempo “efectivas” es

τ_(4ef=) τ/(1+√(K_5 ))=τ/1.707=0.58τ

τ_(5ef=) τ/(1-√(K_5 ))=τ/0.293=3.417

Y la relación entre dichas constantes de tiempo “efectivas” es

τ_5ef/τ_4ef =5.8

A pesar de que τ4= τ5 esto demuestra claramente que la constante de tiempo mayor de un sistema interactivo es más grande que la de un sistema no interactivo.

Otro hecho acerca de los sistemas interactivos es que las constantes de tiempo “efectivas son reales; para probar tal declaración se iguala el denominador de la ecuación (4-31) a cero:

((τ_4 τ_5)/((1-k_5))) s^2+ ((τ_4 τ_5)/((1-k_5)))s+1=0

Con base en la definición de τ_(4,) 〖 τ〗_5 y K5 , se tiene

((A_1 A_2)/(C_2 C_4 )) s^2+((A_1 (C_2+C_4 )+A_2 C_4 )/(C_2 C_4 ))s+1=0

Las raíces de esta ecuacion se obtienen mediante el uso de la expresión cuadrática y, para que estas sean reales, deben ser cierto lo siguiente:

b^2-4ac=[A_1 〖(C〗_2+C_4)+ A_2 C_4 ]^2/(〖C_2〗^2 〖C_4〗^2 )-(4A_1 A_2)/(C_2 C_4 )>0

o

(〖A_1 C_2-A_2 C_4)〗^2+ A_1 C_4 (A_1 C_2+A_1 C_4+ 2A_2 C_4 )>0

Y puesto que todas las constantes son positivas, la desigualdad es siempre verdadera; por lo tanto, se puede decir que las constantes de tiempo en los sistemas interactivos como no interactivos; de los dos, el interactivo es el más común. En las siguientes secciones se presentan más ejemplos de procesos interactivos.

4-3. PROCESO TÉRMICO

Figura 4-7. Enfriamiento de un fluido caliente de proceso.

Se muestra en la figura 4-7, cuyo objetivo es enfriar un fluido caliente que se procesa; el medio de enfriamiento, agua, pasa a través de una camisa.

Para el proceso se supone que el agua de enfriamiento, y el fluido, en el tanque, están bien mezclados y que la densidad y capacidad calorífica de ambos no cambia significativamente con la temperatura. Debido a que el fluido procesado sale del tanque por desborde, el nivel y el área de transferencia de calor en el tanque son constantes.

Finalmente, se puede suponer también que el tanque está bien aislado. Se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan la temperatura de salida del fluido que se procesa, Z’(t), con la temperatura de entrada del agua de enfriamiento TCj(t), la tasa de flujo del agua de enfriamiento, qC(t) y la temperatura de entrada del fluido que se procesa, I;: (t).

Un balance de energía de estado dinamico para el fluido que se procesa es

qpC_p T_i (t)-UA[T(t)-T_C (t)]-qpC_p T(t)=VpC_v (dT(t))/dt (4-32)

1 ecuación, 2 incógnitas (T(t), TC(t)

Donde:

U= coeficiente global de transferencia de calor, se supone constante, J/m2 –K-s

A= área de transferencia de calor, m2.

V= volumen del tanque, m3.

Cp,Cv = capacidades caloríficas del fluido que procesa, J/ Kg- K.

Aun se necesita otra ecuación independiente, que se obtiene a partir del balance de energía de estado dinámico en la camisa de enfriamiento:

q_C (t) p_C C_pc T_Ci (t)+UA[T(t)-T_C (t)]-q_C (t)p_C C_pc T_C (t)=V_c p_c C_vc (〖dT〗_c (t))/dt (4-33)

2 ecuaciones, 2 incógnitas

Donde:

CPc, CVc=capacidades caloríficas del agua de enfriamiento, J/Kg- K

VC= Volumen de la camisa de enfriamiento, m3.

Las funciones de transferencia requeridas se pueden obtener a partir de las ecuaciones (4-32) y (4-33); sin embargo, antes de hacerlo se debe linealizar la ecuación (4-33), cuyos términos no lineales son específicamente el primero y ultimo del miembro izquierdo; la ecuación (4-32) ya es lineal.

Se sigue el procedimiento expuesto anteriormente de las ecuaciones (4-32) y (4-33) y se obtiene

qpC_p T(t)-UA[T(t)-T_C (t)]-qpC_p T(t)=VpC_v (dT(t))/dt (4.34)

Y

C_1 Q_C (t)+C_2 T_Ci (t)+UA[T(t)-T_C (t)]-C_3 Q_C (t)-C_2 T_C (t)=V_C p_C C_VC (dT_C (t))/dt (4-35)

Donde:

C1= pCCpc Tci , J/m3

C2= qcpcCpc J/s-K

C3= pcCpcTc , J/m3

Y las variables de desviación son

T,(t)= T;(t) Ti

T(t)= T(t)-

...