Redes Cristalinas

Dinámica de redes cristalinas

Vibraciones en la red

Los átomos de la red pueden vibrar en torno a sus posiciones de equilibrio (incluso a 0⁰ K)

Las vibraciones de una red producen efectos en los sólidos. Entre ellos,

_ Pueden inducir transiciones de fase.

_ Alterar los patrones de difracción.

_ Modificar propiedades eléctricas. Entre estas las relacionadas con el transporte de carga (dependencia

de la resistencia eléctrica con la temperatura).

Se van a considerar vibraciones elásticas de un cristal con un solo átomo en la celda primitiva, para facilidad de cálculo

Cuánticamente, el problema de la vibración de un punto de la red corresponde al de un oscilador armónico. La solución matemática es más sencilla en las direcciones de propagación de los cristales cúbicos (100),(110) y (111) Cuando una onda se propaga a lo largo de unas de estas direcciones los planos enteros de átomos se mueven en fase con desplazamiento paralelos o perpendiculares a la dirección del vector de ondas ( (k ) ⃗) y se puede describir con una sola coordenada el desplazamiento del plano respecto a su posición de equilibrio .El problema se hace unidimensional y la polarización de la onda se transmite en tres modos una polarización lineal y dos polarizaciones transversales

Se estudiara solo el desplazamiento longitudinal

DESPLAZAMIENTO ATÓMICO LONGITUDINAL

Como los átomos están vibrando, hay que considerar la generación de ondas. La solución de la ecuación de ondas se puede escribir como Ф(r,t)=A exp – Se trata de obtener una relación entre ω y k ,es decir, ω=f(k) que recibe el nombre de relación de dispersión, se va tratar solo con primeros vecinos .

Se muestran a continuación los planos y los átomos

Las líneas punteadas representan los planos no perturbados de una red.

Las líneas continuas corresponden a los planos perturbados

por una onda longitudinal en la dirección de k ⃗ que en este caso coincide con un vector de la red recíproca G ⃗

Las magnitudes ui miden los desplazamientos atómicos, respecto de sus respectivos planos de equilibrio Consideremos una cadena unidimensional de átomos.

Con letra “s” se designan los átomos

Aplicando la ley de Hooke F= -kx se escribe la ecuación de evolución resultante para el átomo “s” Fs = C (u S+1- us)+C (us-1-us)

F s =C(us+1 + u s-1- 2us)

La ecuación puede escribirse como

Donde M es la masa de un átomo. Para resolver la ecuación diferencial se supone una solución sinusoidal en torno al punto de equilibrio de la forma

Se elimina la parte temporal

A continuación se elimina

Usando el teorema

Tenemos finalmente

que ya es una relación de dispersión

Aplicando las relaciones

Se llega a

Finalmente

Se llega a la relación de dispersión

Se grafica esta relación

RELACIÓN DE DISPERSIÓN.

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