Redes Electricas 2

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UNIVERSIDAD  TE´CNICA FEDERICO  SANTA  MAR´IA

Departamento Ingenier´ıa El´ectrica

ELI212

Segundo Semestre 2018

Tarea 1

Redes  Electricas 2

Profesor: Gaston Fournies Autor:  Alvaro Ortiz

Rol: 201660032-9

Valpara´ıso, 9 de Octubre

Enunciados

1.- Se desea analizar la estabilidad de un sistema actuador que es parte del control de velocidad de un vag´on destinado al transporte de grano. Lo normal es que el vag´on recorra la seccio´n de carga,  que mide 2 mt. , a una velocidad constante de 0.1 m/seg., mientras se le carga con grano. En esa condicio´n el control env´ıa una sen˜al constante de 10 V al sistema actuador. Si la velocidad del carro      se  ve  perturbada  por  alguna  razo´n  el  control  env´ıa  una  sen˜al  u(t)  variable  al  actuador.  El  sistema actuador  tiene  una  entrada  u(t),  que  es  la  sen˜al  que  env´ıa  el  control,  y  una  respuesta  x(t)  que  es     la posici´on del carro en la zona de carga. La relacio´n entre la entrada y la salida, mientras dura el proceso de carga, esta´ dada por la siguiente ecuacio´n:

−2t

 d2x

 dx        du

100 · (1 − e

 )        10x(t) + 2        = 3u(t)        (t        0,2)        (1)

dt2        dt        dt

−        −        −

dx        d2x        2

x(t)=posicion(m);

0 ≤ x(t) ≤ 2

 = velocidad(m/seg);

dt

 dt2  = aceleracion (m/seg  )

t=0(seg) cuando el vagon ingresa a la zona de carga.

1. Demuestre que el sistema actuador no es lineal
2. Escoja un punto de operacio´n y linealice el modelo.
3. Demuestre si el sistema actuador es estable o no.

Desarrollo

1.-        a) Definimos los siguientes operadores

−2t

d2x        dx

T [x(t)] = 100 · (1 − e

 )        10x(t) + 2        (2)

dt2        dt

−

−        −

du

H[u(t)] = 3u(t)        (t        0,2)        (3)

dt

Si  ambos  operadores  fueran  lineales,  se  podr´ıa  decir  que  el  sistema  es  lineal,  si  uno  o  ambos    no son lineales se puede decir que el sistema no es lineal.

−2t

 d2x1

 dx1

T [x1(t)] = 100 · (1 − e

 )        10x (t) + 2

−        2

dt2        dt

−        1

−2t d2x2

 dx2

T [x2(t)] = 100 · (1 − e

 )        10x (t) + 2

dt2        dt

T [αx1(t) + x2(t)] = 100 · (1 − e

 −2t)

 d2(αx1(t) + x2(t))

dt2        − 10(αx1(t) + x2(t)) + 2

 d(αx1(t) + x2(t))

dt

−        1        ·        −

−        2

Reordenando los terminos y considerando que la derivada es un operador lineal.

−2t

 d2x1

 dx1

−2t

 d2x2

 dx2

α(100 · (1 − e

 )        10x  (t) + 2        ) + 100   (1        e

dt2        dt

 )        10x (t) + 2

dt2        dt

αT [x1(t)] + T [x2(t)]

Con esto se demuestra que el operador T [x(t)] es lineal.    De manera similar se hace ahora para el operador H[u(t)].

du1

1

1

dt

H[u (t)] = 3u (t)        − (t − 0,2)d(αu1)

1

1

dt

H[αu (t)] = 3αu (t)        − (t − 0,2)

1

1

dt

H[αu (t)] = 3α2u (t) d(u1) − (t − 0,2) = du1

1

dt

1

α(3u (t)        − (t − 0,2)) = αH[u (t)]

Dado que H[u(t)] no cumple la homogeneidad se puede concluir que el operador no es lineal,  por lo cual el sistema no es lineal.

...