Retroproyección filtrada

retroproyección filtrada

El método implementado ampliamente de retroproyección filtrada consiste en aplicar un filtro para cada proyección antes de retroproyección con el fin de reducir los artefactos asociados con sencillo retroproyección . Una de las implementaciones más comunes utiliza el filtro Ramachandra - Lakshminarayanan ( Ram - Lak ) . Si el filtro se aplica en el dominio espacial , entonces la proyección p ' filtrada (r, fi) se puede representar como

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Figura B.3 Una imagen (a la derecha ) , que se obtiene mediante retroproyección , el fantasma de Shepp - Logan ( izquierda ) muestra una considerable confusión y pérdida de contraste.

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Figura B.4 El efecto de la convolución de una proyección p (r, fi) con la función de filtro h espacial ( r) . El lóbulo negativo en la proyección filtrada minimiza el "artefacto estrella" en la imagen reconstruida .

La expresión para h ( r) , el filtro de Ram- Lak, está dada por

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donde dr es el intervalo de muestreo a lo largo del eje r . La forma de h ( r ) se muestra en la Figura B.4 . Después de filtrar, las proyecciones son luego backprojected como se describió anteriormente . El efecto principal de la convolución de p (r, fi) con h ( r) es disminuir la intensidad de la "artefacto estrella " producido por simple retroproyección .

Debido a que el proceso matemático de la convolución es computacionalmente intensivas , en la práctica se filtró retroproyección se lleva a cabo en el dominio de la frecuencia espacial utilizando transformada rápida de Fourier métodos. Convolución en el dominio espacial es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia espacial , y la multiplicación se puede perfotmed mucho más rápido computacionalmente de convolución. Cada proyección p (r, fi) es de Fourier transforma a lo largo de la dimensión r para dar P (k, fi), y luego P (k, fi) se multiplica por H (k), la transformada de Fourier de h ( r) , para dar P ' ( k , fi ) :

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Las proyecciones de P ' (k filtrados , fi), son inversas de Fourier - transformó de nuevo en el dominio espacial y backprojected para dar la última imagen f ( x, y ) :

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donde F- 1 representa una transformada inversa de Fourier. La expresión para H ( k) en la ecuación ( b.5 ) viene dada por

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Figura B.5 . Algunas funciones de filtro comunes utilizados para retroproyección . 1. Ram - Lak ; 2 , Shepp - Logan ; 3 , de paso bajo coseno ; y 4 , generalizado Hamming

La forma de H ( k) en el dominio de la frecuencia espacial se muestra en la Figura B.5 . Como puede apreciarse , thhis filtro no tiene características de ruido muy deseable, ya que amplifica las frecuencias espaciales altas . Con el fin de mejorar el rendimiento de ruido del filtro, la amplificación de altas frecuencias espaciales puede ser reducida , resultando en funciones de uso común tales como Shepp - Logan , el coseno de paso bajo , o los filtros de Hamming generalizadas , que también se muestra en la figura B. 5 .

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