Serie De Fibonacci

serie de Fibonacci

Consiste en una serie de números que se construye desde el numero 1, después el numero 2. y luego se obtiene el siguiente numero por la suma del anterior y su precedente:

1, 2 =2+1=3, 3+2=5, 5+3 =8, etc.

Reglas

1.- La proporción que hay entre cada numero (n) y el siguiente (n+1) es siempre del 61,80%.

2.- La proporción que hay entre cada numero (n) y uno más del siguiente (n+2) en la serie es siempre del 38.19%.

serie de gouss\

Uno de los grandes genios de la física, Carl Friedrich Gauss, contaba en 1787 con diez años de edad. Por aquel entonces, iba a la escuela.

Un día en el que todos los alumnos se tiraban tizas los unos a los otros, apareció el profesor de repente. Muy enfadado, ordenó a todos los niños que, como castigo, le sumaran todos los números de 1 al 100.

No tardó el muchacho en entregar la respuesta correcta en su pequeña pizarra: 5050. Lo había hecho sin llegar a sumar, utilizando simplemente su lógica, percatándose de un aspecto interesante de aquella sucesión y efectuando una sola operación (en vez de noventa y nueve sumas).

¿Cómo lo hizo el pequeño Gauss para obtener tan rápido la solución?

Se dice que los matemáticos no calculan, sino que piensan.

Gauss tenía que sumar la siguiente serie:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

No obstante, se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas:

(1 + 100) = 101
(2 + 99) = 101
(3 + 98) = 101
…
(49 + 52) = 101
(50 + 51) = 101

Así, todas las sumas de simétricos daban 101. Habiendo 50 posibles pares, el resultado era de 50 x 101, o sea, 5050.

Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la fórmula de la suma de la serie geométrica, entre otras cosas.

triangulo de sierpinsky

Construcción

Para la construcción de "El Triángulo de Sierpinski" aplicamos 3 semejanzas:

f 1 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 )

f 2 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y /3 )

f 3 (x,y) = ( x / 3 + ( 2 * cos (60º) ) / 3 , y / 3 + ( 2 * sen (60º) ) / 3 )

Longitud / Dimensión

Si vamos viendo el área de " El Triangulo Sierpinski" para diferentes iteracciones, obtenemos :

Iteracción 1 >> Área = 3 / 4

Iteracción 2 >> Área = 9 / 16

Iteracción 3 >> Área = 27 / 64

Iteracción 4 >> Área = 81 / 256

Como podemos ver en esta serie el area de el triangulo tiende a cero, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula:

area = p ^ i * f ^ i

Donde:

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