Solucionario Serway

ANÁLISIS DIMENSIONAL.

Túnel de viento de “Renault F1 Team” en ENSTONE (UK). Modelo a escala 1:2

Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón diciembre 2008

II.1. Análisis Dimensional

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08

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1. ANÁLISIS DIMENSIONAL.

1.1. Homogeneidad dimensional. 1.2. Teorema de BUCKINGHAM. 1.3. Grupos adimensionales. 1.4. Números de Reynolds, Euler, Mach y Froude. 1.5. Teoría de modelos. 1.6. Problemas resueltos.

El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos.

La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas...

Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo.

1.1. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.

En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional.

Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T(tiempo) y θ (temperatura):

magnitud dimensiones magnitud dimensiones Longitud (l) [l] = L Gravedad (g) [g] = L T-2 Superficie (A) [A] = L2 Fuerza (F) [F] = M L T-2 Volumen (V) [V] = L3 Presión (p), tensión (τ) [p], [τ] = M L-1 T-2 Momento de inercia (I) [I] = L4 Energía (E), Entalpía (H) [E] = M L2 T-2 Velocidad (v) [v] = L T-1 Entropía (S) [S] = M L2 T-2 θ-1 Aceleración (a) [a] = L T-2 Calor específico (c) [c] = L2 T-2 -1 Velocidad angular (ω) [ω] = T-1 Conductividad térmica (κ) [κ] = M L T-3 θ-1 Aceleración angular (α) [α] = T-2 Viscosidad absoluta (μ) [μ] = M L-1 T-1 Densidad (ρ) [ρ] = M L-3 Viscosidad dinámica (ν) [ν] = L2 T-1 Caudal volumétrico (Q) [Q] = L3 T-1 Tensión superficial (s) [σ] = M T-2 Caudal másico (m & ) [m & ] = M T-1 Compresibilidad (K) [K] = M L-1 T2

3.2. TEOREMA “Π” DE BUCKINGHAM.

El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan “n” variables que incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en “n-m” grupos adimensionales independientes.

Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma: g(G1,G2,...,Gn-m) = 0.

II.1. Análisis Dimensional

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El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la selección de “m” de las “n” variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las “m” dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los “n-m” grupos adimensionales a partir de la siguiente expresión genérica:

nm,...,1iVVG nj n1mj a jii ij =−=⋅ ∏ = −+=

(1.)

A los grupos adimensionales , se les suele denominar parámetros adimensionales Pi de BUCKINGHAM, al ser su expresión un productorio adimensional (símbolo de productorio = Π). Los exponentes “aij” se determinan por la condición de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas mismas y los exponentes de M,L,T,ϑ,..., se igualan a cero (adimensionalidad del parámetro).

Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (μ), la densidad del fluido (ρ), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud característica del objeto (L): FD = FD(μ,ρ,v,L)

Las cinco variables: FD, μ, ρ,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema de BUCKINGAM se tendrán 5-3=2 grupos adimensionales. Siguiendo las siguientes reglas:

- Las variables repetitivas (exponentes iníciales distintos de 1) deben aportar todas las dimensiones. - Las variables no repetitivas (exponentes iguales a 1), son las inherentes al problema1.

Las variables inherentes son la fuerza de arrastre (FD) y la viscosidad (m), y el resto (longitud, velocidad y densidad) son las repetitivas. Con lo que se tienen los siguientes grupos adimensionales:

G1 = FD La vb ρc G2 = μ Ld ve ρf

Los exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensiónales:

[G1] = [FD] [La] [Vb] [ρc] M0 L0 T0 = (MLT-2 )(L)a(LT-1)b(ML-3)c = M1+c L1+a+b-3c T-2-b Exponentes de masa (M) : 0 = 1 + c Exponentes de longitud (L) : 0 = 1+a+b-3c Exponentes de tiempo (T) : 0 = -2-b Resultados: a = -2; b = -2; c = -1

Con lo que el grupo adimensional G1 es: G1 = FD L-2 v-2 ρ-1 =

ρ22 D vL F

; que da lugar al denominado

coeficiente de arrastre CD; en donde se introduce el factor (1/2) para tener la presión dinámica, y en vez del término L2, se tiene una superficie característica2 (A)

Av F C 2 2 1 D D ρ =

(2.)

De forma análoga se obtiene el segundo parámetro adimensional: G2=μL-1v-1ρ-1; que da lugar al número de REYNOLDS Re:

μ

ρ

...