Superficies Y Curvas De Nivel

superficies y curvas de nivel (formulas y graficos)

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para los que estudian matematicas y recien empiezan:

una curva es: una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola y la hipérbola.

en fin, una curva es una linea que hace firuletes en un espacio vectorial.

superfcie: es un conjunto en 3d, una esfera, un paraboloide hiperbolico,paraboloide, un elipsoide , etc....

LAS CURVAS Y SUPERFICIES NO SON FUNCIONES,SON CONJUNTOS. QUE SE PUEDEN VER COMO "CORTES" DE LOS GRAFICOS QUE DESCRIBEN LAS FUNCIONES. A CADA CORTE DE LA FUNCION SE LO LLAMA NIVEL.

para entender mejor:

estamos hablando de funciones del tipo F: |R^n --> |R

el codominio son los reales, y el dominio un espacio vectorial.

¿el grafico de F es el dominio mas la imagen, no? osea un generico (dom(F),img(F))

osea si hablamos de F: |R^3-->|R

el grafico es un subconjunto de |R^4 porque es la suma de las dimensiones del dominio+ el codominio.

osea el generico seria asi : grafico(F)= (x,y,z,F(x,y,z))

pero eso es algo en 4 dimensiones y no se puede dibujar!

por eso se recurre a los "cortes" llamados superficies o curvas de nivel, que hacen que baje una dimension, osea solo veria el dominio en un punto del codominio.

osea la superficie de nivel en k serian los puntos (x,y,z) perteneciente a |R^3 talque F(x,y,z)=k

donde k es un valor del codominio.

generico de la superficie de nivel = (x,y,z,F(x,y,z)=k)

una curva de nivel es exactamente lo mismo pero en funciones de F: |R^2-->|R

osea curva de nivel= (x,y,F(x,y)=k)

PARA TODOS LOS CASOS X,Y,Z SON VARIABLES

a,b,c SON CONSTANTES

curvas de nivel mas usadas o conocidas:

circunferencia con centro en (h,j) y radio r:

(x-h)^2+(y-j)^2=r^2

elipse con centro en (h,j) y semiejes a y b:

((x-h)^2)/a^2+((y-j)^2)/b^2=1

hiperbola:

(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1 o (y^2)/a^2-(x^2)/b^2=1

superficies de nivel:

paraboloide:

f(x,y)=x^2+y^2 si despejo z me queda 0=x^2+y^2-z

paraboloide hiperbolico, o silla de montar:

f(x,y)=x^2-y^2 despejo z

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