Sustituyendo

El momento de inercia de un sólido es una magnitud escalar que viene dada por:

De su definición se deduce que el momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuación anterior puede ser sustituido por la siguiente integral:

Donde dm es un elemento de masa del sólido y R2 su distancia al aje de giro del mismo.

El elemento de masa dm está relacionado con la densidad ρ del sólido y, si éste es homogéneo, al sustituir dm en la expresión del momento de inercia podemos sacar la densidad de la integral:

dV es un elemento de volumen del sólido y, para calcular el momento de inercia de un sólido homogéneo es preciso resolver la integral recuadrada en rojo.

Cálculo de momentos de inercia

Como ejemplo, calcularemos el momento de inercia de un cilindro homogéneo con respecto a uno de sus ejes de simetría, el eje longitudinal z que pasa por su centro de masas. El elemento de volumen en este caso es el volumen de la corteza cilíndrica (representada en azul en la figura) de espesor dR que se encuentra a una distancia R del eje de giro, y viene dado por:

Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:

Integrando:

Finalmente, sustituyendo la densidad en la expresión anterior, el momento de inercia del cilindro con respecto al eje z es:

El momento de inercia de un cilindro hueco (con un radio interior R2, como se muestra en la siguiente figura), se calcula de la misma manera que el del cilindro macizo desarrollado en el ejemplo anterior, pero integrando entre R2 y R1).

El momento de inercia de un cilindro hueco viene dado por:

Por tanto, a igual masa, un cilindro hueco tiene mayor momento de inercia que uno macizo. Si pinchas en la sección "Sabías que..." de esta página verás una aplicación práctica de este hecho.

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