Teori´a de grupos
Enviado por johncherry38 • 25 de Noviembre de 2013 • Trabajo • 1.826 Palabras (8 Páginas) • 251 Visitas
TEORI´A DE GRUPOS
1. Generalidades
Un grupo G es un conjunto de elementos sobre los cuales hay definida una ley de
composici´on, · : G × G → G, que es asociativa, con neutro e inverso, es decir,
a) f · (g · h) = (f · g) · h, ∀ f, g, h ∈ G,
b) ∃e ∈ G, llamado elemento neutro o identidad, que satisface e · g = g · e =
g,∀g ∈ G,
c) ∀ g ∈ G, ∃ g−1 ∈ G, llamado su inversa, que satisface g · g−1 = g−1 · g = e.
Evidentemente, si f · g = h · g entonces f = h. En efecto, (f · g) · g−1 = f · (g · g−1) =
(h · g) · g−1 = h · (g · g−1) ⇒ f = g.
Similarmente, se puede demostrar que el neutro y el inverso de cualquier elemento son
u´nicos. Por ejemplo, si g · f = e ⇒ g−1 · (g · f) = (g−1 · g) · f = e · f = g−1 · e ⇒ f = g−1.
En consecuencia, (f ·g)−1 = g−1 ·f−1, puesto que (f ·g)·(g−1 ·f−1) = f ·(g ·g−1)·f−1 =
f · f−1 = e.
En general, la ley de composici´on no es conmutativa: f · g ̸= g · f. Un grupo G para
el cual f · g = g · f, ∀ f, g ∈ G se dice Abeliano.
Ejemplos:
el grupo aditivo de los enteros respecto de la operaci´on de suma usual, Z;
el conjunto de los racionales no nulos, Q\{0}, respecto de la operaci´on usual de
multiplicacio´n;
el conjunto {1, −1} respecto de la operaci´on de multiplicacio´n de reales;
el conjunto de las rotaciones de un cuerpo.
El orden de un grupo es el nu´mero de elementos que contiene. El orden puede finito
o infinito.
2. Grupo de permutaciones
Consideremos una permutacio´n de cinco elementos,
(2.1) {a1, a2, a3, a4, a5} → {a2, a3, a1, a5, a4} .
Independientemente de la naturaleza de esos elementos, esta operaci´on puede ser repre-
sentada por el siguiente cuadro de nu´meros que indica, sobre cada columna, la posici´on
inicial y final de un elemento,
(2.2) σ =
(
1 2 3 4 5
3 1 2 5 4
)
≡
(
2 3 1 5 4
1 2 3 4 5
)
Teorı´a de grupos 5
(o bien, con ide´ntico significado, por cualquier otro cuadro que difiera de los anteriores
en una permutacio´n de sus columnas).
La operaci´on de composici´on de σ con otra permutacio´n
(2.3) σ′ =
(
1 2 3 4 5
5 3 1 2 4
)
se define por
(2.4) σ′ · σ =
(
1 2 3 4 5
5 3 1 2 4
)
·
(
2 3 1 5 4
1 2 3 4 5
)
:=
(
2 3 1 5 4
5 3 1 2 4
)
.
Esta operaci´on satisface los axiomas de grupo. En efecto, puede constatarse que esa
operaci´on es asociativa, que el elemento neutro est´a dado por
(2.5) e =
(
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
)
y que, por ejemplo, la inversa de σ en (2.2) est´a dada por el mismo cuadro de nu´meros
con sus filas intercambiadas,
(2.6) σ−1 =
(
3 1 2 5 4
1 2 3 4 5
)
.
Este grupo es no Abeliano, como surge de verificar que σ · σ′ ̸= σ′ · σ.
Generalizando esas definiciones, resulta que el conjunto de las permutaciones de p
elementos se estructura como un grupo (no Abeliano), denotado por Sp.
Consideremos la permutacio´n τ ∈ S9
(2.7) τ =
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 3 9 6 1 7 5 8 2
)
.
Ella puede ser descompuesta en las permutaciones cı´clicas independientes
(2.8) τ ≡
1 → 4 → 6 → 7 → 5 → 1,
2 → 3 → 9 → 2,
8 → 8.
N´otese que cada ciclo involucra a un cierto nu´mero de elementos que no aparece en los
dem´as ciclos.
La permutacio´n τ puede ser caracterizada mediante su descomposici´on en ciclos,
y denotada por
(2.9) τ = (1 4 6 7 5) (2 3 9) (8) ≡ (2 3 9) (1 4 6 7 5),
dado que los ciclos independientes conmutan entre sı´, como puede verificarse f´acilmente.
6 H. Falomir
Los ciclos de un elemento pueden ser descartados del cuadro, ya que no tienen ningu´n
efecto en la permutacio´n. Tampoco importa por cual elemento comienza a describirse
cada ciclo, ya que con el mismo significado tenemos
(2.10) τ = (6 7 5 1 4) (9 2 3).
Un ciclo de dos elementos se llama transposici´on simple. Todo ciclo puede ser
descompuesto en un producto de transposiciones simples. Por ejemplo,
(2.11) (1 4 6 7 5) = (1 5) (1 7) (1 6) (1 4).
Una permutacio´n se dice par o impar de acuerdo a que sea posible descomponerla en
un nu´mero par o impar de transposiciones simples.
Tambie´n es posible representar una permutacio´n de p elementos mediante una matriz
cuyos elementos son todos 0 excepto p de ellos iguales a 1, dispuestos de modo tal que
s´olo aparezca un 1 por fila y por columna. Por ejemplo, para σ ∈ S5 en (2.2) tenemos
(2.12)
aaaa5132
a4
=
0100 0001 0100 0000 1000
0 0 0 1 0
aaaa4321
a5
= M(σ)
aaaa4321
a5
,
donde hemos introducido un producto de elementos ak por 1 o 0 cuyo significado es,
respectivamente, seleccionar o no a dicho elemento.
En esta representacio´n del grupo S5, la operaci´on de composici´on se reduce simple-
mente al producto usual de matrices, M(σ′ σ) = M(σ′) M(σ).
No´tese que la traza de M(σ), tr M(σ), es el nu´mero de elementos que deja inva-
riantes la permutacio´n σ, mientras que su determinante, det M(σ), es igual a +1 para
permutaciones pares y a -1 para las impares. Por ejemplo, para σ en (2.2) y M(σ) en
(2.12),
(2.13)
σ = (1 3 2) (4 5) = (4 5) (1 2) (1 3),
trM(σ) = 0, detM(σ) = −1.
Teorı´a de grupos 7
Ejemplo: La tabla de la operaci´on de composici´on en el grupo S3 = {e, a = (1 2 3), b =
(1 3 2), α = (2 3), β = (3 1), γ = (1 2)} esta´ dada por el cuadro
(2.14)
· e a b α β γ
e e a b α β γ
a
...