Todo Acerca De Vectores

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y suextremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulocero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Distancia entre dos puntos

Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección ysentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Suma de vectores

Propiedades de la suma de vectores

1. Asociativa

+ ( + ) = ( + ) +

2. Conmutativa

+ = +

3. Elemento neutro

+ =

4.Elemento opuesto

+ (− ) =

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real k por un vector es otro vector:

De igual dirección que el vector .

Del mismo sentido que el vector si k es positivo.

De sentido contrario del vector si k es negativo.

De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Propiedades del producto de un número por un vector

1. Asociativa

k • (k' • ) = (k • k') •

2. Distributiva respecto a la suma de vectores

k • ( + ) = k • + k •

3. Distributiva respecto a los escalares

(k + k') • = k • + k' •

4. Elemento neutro

1 • =

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectoresmultiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner comocombinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de lacombinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos losvectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con unacombinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ••• = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen

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