Trignometría
Enviado por fenrique26 • 20 de Mayo de 2014 • 2.757 Palabras (12 Páginas) • 284 Visitas
TRIGONOMETRÍA
A. Introducción teórica
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes).
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica.
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas.
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno.
B. Ejercicios resueltos
B.1. Razones trigonométricas.
B.2. Ecuaciones trigonométricas.
B.3. Problemas.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Razones trigonometricas de un triangulo rectangulo:
Las razones trigonometricas de un triangulo
rectangulo son las siguientes funciones:
La funcion seno, coseno, tangente, cosecante,
secante y cotangente.
Todas ellas pueden entenderse como
relaciones entre los lados de un triangulo
rectangulo.
Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los angulos α y β
del triangulo rectangulo aqui representado:
a) Para el angulo α:
funcion seno funcion coseno funcion tangente
a = a
sen
c
a = b
cos
c
a = a
tg
b
funcion cosecante funcion secante funcion cotangente
1 c
cos ec
sen a
a = =
a a = =
a
1 c
sec
cos b
a = =
a
1 b
cotg
tg a
Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
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b) Para el angulo β:
funcion seno funcion coseno funcion tangente
b = b
sen
c
b = a
cos
c
b = b
tg
a
funcion cosecante funcion secante funcion cotangente
b = =
b
1 c
cosec
sen b
b = =
b
1 c
sec
cos a
b = =
b
1 a
cotg
tg b
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos angulos significativos
(en grados y radianes)
angulo sen cos tg angulo sen cos tg
0o 0 rad 0 1 0 60o rad
3
p
3
2
1
2
3
30o rad
6
p
1
2
3
2
1
3
90 rad
2
p
1 0 ¥
45o rad
4
p
2
2
2
2
1 180o p rad 0 –1 0
A.3. Significado geometrico de las razones trigonometricas en la esfera
goniometrica
Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la
unidad. Para una circunferencia goniometrica es posible dar un sentido
muy intuitivo a todas las razones trigonometricas. Vamos a verlo
mediante el siguiente dibujo.
TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos
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A.4. Relaciones entre las razones trigonometricas
a) Relaciones fundamentales:
El seno, el coseno y la tangente de un angulo estan relacionados
mediante la siguiente igualdad:
sen
tg
cos
θ
= θ
θ
Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente
vinculada al teorema de Pitagoras:
sen2θ+cos2 θ = 1
b) Relaciones del angulo suma–diferencia:
sen(a ± b) = sena× cosb ± senb× cosa
cos (a ±b) = cosa× cosb ∓ sena× senb
(a ± b) = a ± b
a× b
tg tg
tg
1 ∓ tg tg
c) Relaciones del angulo doble
Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales.
sen(2a) = 2sena× cosa
( a) = 2 a - 2a cos 2 cos sen
( a) = a
- 2a
2tg
tg 2
1 tg
d) Relaciones del angulo mitad
2 a = 1 - cosa
sen
2 2
2 a = 1 + cosa
cos
2 2
Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE
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a = - a
+ a
2 1 cos
tg
2 1 cos
A.5. Resolucion de triangulos: Teoremas del seno y del coseno
Sea el siguiente triangulo. !No hace falta que sea rectangulo! Se
verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno
y teorema del coseno.
a) Teorema del seno: a = b = c
senA senB senC
b) Teorema del coseno: 2 = 2 + 2 - a b c 2bc cosA
B. EJERCICIOS RESUELTOS
B.1. Cálculo de razones trigonométricas
1. Sabiendo que senα =0,86 calcula las demas razones trigonometricas
directas e inversas
Solucion:
Las razones trigonometricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y
las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar
todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:
• senα =0,86
B C
A
c b
a
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• El coseno se deduce a partir de la ecuacion fundamental
sen2q + cos2 q = 1 :
2 2 2 2 2 sen θ+cos θ = 1⇒cos θ = 1−sen θ⇒cos θ = 1−sen θ
Sustituyendo datos:
2 2 1
cos 1 sen cos 1 0,86 cos
2
θ = − θ ⇒ θ= − ⇒ θ =
• La tangente buscada se deduce de la formula fundamental
sen
tg
cos
θ
= θ
θ
. Solo hay que sustituir en ella los valores conocidos:
sen 0,86
tg tg tg 1,72
cos 0,5
θ
= θ⇒ θ= ⇒ θ=
θ
• La cosecante es la inversa del seno.
1 1
cosec sen 1,26
0,86
− α = α = =
• La secante es la inversa del coseno.
1 1
sec cos 2
1
2
− α = α = =
• La cotangente es la inversa de la tangente.
1 1
cotg tg 0,58
1,72
− α = α = =
2. Calcula las relaciones trigonometricas
directas de α y β
Solucion:
Las razones trigonometricas directas son el
seno, el coseno y la tangente.
_ Para el angulo a:
40
sen sen 0,8
50
a = ⇒ a = ,
30
cos cos 0,6
50
a = ⇒ a =
40
tg tg 1,33
30
a = ⇒ a =
Observa que se cumple que 2 2 sen a + cos a = 1
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_ Para el angulo b :
30
sen sen 0,6
50
b = ⇒ b =
...