USO DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA DERIVAR ECUACIONES DE MOVIMIENTO

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Politécnica Territorial del Norte de Monagas “Ludovico Silva”

Caripito - Estado – Monagas

[pic 1]

Profesor:

Juan Trillo                                                                                                              Bachilleres:

Cabrera Verónica C.I 23.535.885

Correa Elio C.I 25.265.246

Deyan Luis C.I 23.530.765

Fuentes Carlos C.I 23.530.367

García Deivys C.I 23.530.379

Parejo Diego C.I 24.512.247

Caripito, Enero 2017

INTRODUCCIÓN

La mayoría de estructuras no se prestan para hacer idealizadas como un sistema de un grado de libertad, esta representación por medio de un sistema de varios grados de libertad admite todavía un análisis dinámico relativamente sencillo de su respuesta. Resulta complejo elegir entre el análisis dinámico plano o tridimensional este último, representado por sus dos componentes horizontales (cargas reversibles), lo cual no es posible en el plano. El análisis dinámico tridimensional, requerirá la evaluación de las estructuras o sistemas con varios grados de libertad por medio de métodos sofisticados como el de los elementos finitos que ayudaría a resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento existentes por cada grado de libertad.

Antes de realizar la formulación de las ecuaciones de movimientos La razón principal para analizar y diagnosticar el estado de una maquina es determinar las medidas necesarias para corregir la condición de vibración - reducir el nivel de las fuerzas vibratorias no deseadas y no necesarias. De manera que, al estudiar los datos, el interés principal deberá ser la identificación de las amplitudes predominantes de la vibración, la determinación de las causas, y la corrección del problema que ellas representan.

Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elástica o gravitacional, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración.

USO DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA DERIVAR ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Se puede adoptar el siguiente procedimiento para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad aplicando la segunda ley del movimiento de Newton:

1. Establezca coordenadas adecuadas para describir las posiciones de las varias masas puntuales y cuerpos rígidos en el sistema. Suponga direcciones positivas adecuadas para los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las masas y cuerpos rígidos.
2. Determine la configuración de equilibrio estático del sistema y mida los desplazamientos de las masas y cuerpos rígidos con respecto a sus posiciones de equilibrio estático respectivas.
3. Trace el diagrama de cuerpo libre de cada masa o cuerpo rígido. Indique las fuerzas de resorte, amortiguamiento y externas que actúan en cada masa o cuerpo rígido cuando se imparte un desplazamiento y velocidad positivas a dicha masa o cuerpo rígido.
4. Aplique la segunda ley del movimiento de Newton a cada masa o cuerpo rígido que muestra el diagrama de frecuencia de cuerpo como sigue

      [pic 2]  (1.1)      Ó    [pic 3](1.2)

Donde [pic 4] , indica la suma de todas las fuerzas que actúan en la masa [pic 5] indica la suma de momentos de todas las fuerzas (con respecto a un eje adecuado) que actúan en el cuerpo rígido del momento de inercia de masa [pic 6]

El procedimiento se ilustra en los ejemplos siguientes.

EJEMPLO 1.1   Ecuaciones de movimiento de un sistema de resorte-masa.

Derive las ecuaciones de movimiento del sistema de resorte-masa-amortiguador que se muestra en la figura 1.3(a)

Solución:

Método: Trace diagramas de cuerpo libre de las masas y aplique las segunda ley del movimiento de Newton. Las coordenadas que describen las posiciones de las masas, [pic 7], se miden desde sus respectivas posiciones de equilibrio estático, como se indica en la figura 1.3 (a). El diagrama de cuerpo libre de una masa interior típica [pic 8] , se muestra en la figura 1.3 (b) junto con las direcciones positivas supuestas para su desplazamiento, velocidad y aceleración. La aplicación de la segunda ley del movimiento de Newton a la masa [pic 9] , resulta.

[pic 10]                   Ó

                      [pic 11]              (E1)

Las ecuaciones de movimiento de las masas, [pic 12], se derivan de la ecuación (E1) al establecer que, [pic 13] , junto con, [pic 14] , junto con, [pic 15] , respectivamente:  

 [pic 16]         (E2)

[pic 17]            (E3)

[pic 18]

Figura 1.3 Sistema de resorte-masa-amortiguador

Notas:

1. las ecuaciones de movimiento. (E1) a (E3), del ejemplo 1.3 se expresan en forma matricial como  [pic 19]               (1.3)

Donde [pic 20] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, respectivamente, y se expresan como sigue.

[pic 21]       (1.4)

[pic 22]                       (1.5)

[pic 23]                     (1.6)

[pic 24]Son los vectores de desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza, dados por

[pic 25]                                                           (1.7)

1. Para un sistema no amortiguado (con todas las [pic 26]). Las ecuaciones de movimiento se reducen a                                                      [pic 27]                                                                                              (1.8)
2. El sistema de resorte-masa-amortiguador arriba considerado es un caso particular de un sistema de resorte masa-amortiguador de n grados de libertad. En su forma más general, las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez se escriben como

[pic 28]                                                    (1.9)

[pic 29]                                                       (1.10)

[pic 30]                                                            (1.11)

Si la matriz de masa no es diagonal, se dice que el sistema debe contar con acoplamiento de amortiguamiento o velocidad. Finalmente, si la matriz de rigidez no es diagonal, se dice que el sistema debe tener acoplamiento elástico o estático. El acoplamiento tanto de masa como de amortiguamiento también se conoce como acoplamiento dinámico.

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