Un número pseudo-aleatorio

José Ángel Tronilo 2012-5119

Número pseudo-aleatorio

Un número pseudo-aleatorio es un número generado en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente. Las secuencias de números pseudo-aleatorios no muestran ningún patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, a pesar de haber sido generadas por un algoritmo completamente determinista, en el que las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado.

Son mediciones cuyos valores se obtiene de algún tipo de experimento aleatorio. Los experimentos aleatorios presentan un tratamiento matemático en el cual se deben cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. Las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico de la realidad. Los tipos de variables aleatorias son: Discretas y Continuas.

Sus características son:

Pseudo--------> falso

Se forman a partir de algoritmos deterministicos.

Deben de pertenecer a una distribución ~ U(0,1).

Métodos congruenciales

Se define el siguiente método congruencial: Se genera 

[pic 1]

a partir de una semilla X0, con 

[pic 2]

[pic 3]

Entonces se toma 

[pic 4]

Ejemplo: M=1000, a=7, c=501, X0=0. 

[pic 5]. 

[pic 6]. 

Y así sucesivamente. Si Xi=Xi+k por vez primera, entonces k se denomina período del generador. Si c=0 el método se dice multiplicativo. A continuación, enunciamos dos resultados relacionados con congruencias cuya demostración se omite. Condición necesaria para que un generador multiplicativo tenga un período de longitud M-1 es que M sea primo. Si M es primo, el período divide a M-1. En este caso, el período es M-1 si, y sólo si, 

[pic 7]

Sea [pic 8]. Un generador congruencial tiene período M si, y sólo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:

1.

mcd(c,M)=1.

2.

[pic 9] factor primo de M.

3.

[pic 10] si M es múltiplo de 4.

A continuación se presenta el generador implementado en los IBM380 en 1970. Este método resultó tener un gran problema: hay quince planos paralelos en el cubo [0,1]3 que contienen todos los puntos que se obtienen tomando tres valores Xi, Xi+1, Xi+2 cualesquiera. 

Ejemplo: c=0, a=216+3, M=231 Los ci que se utilizan a continuación representan enteros. Su valor exacto se omite pues no tiene interés. 

Xi+1=(216+3) Xi + 231 c0

[pic 11]

=(6 (216+3)-9) Xi + 231 c4 = 6 (216+3)Xi - 9 Xi + 231 c4 = 6 Xi+1 -9 Xi + 231 c5

Así 

[pic 12]

Como ui, ui+1, [pic 13] y [pic 14], enonces [pic 15]. Es decir, todas las ternas (ui,ui+1,ui+2) están concentradas en quince planos.

Un generador recomendado es 

[pic 16]

Otros métodos de generación de números pseudoaleatorios

Sean [pic 17], [pic 18] dos sucesiones de números pseudoaleatorios, generados congruencialmente, con respectivos períodos c1 y c2. La sucesión [pic 19] tiene período mcm(c1,c2). Sean U1, U2 variables aleotorias independientes con distribución U(0,1). La variable Z=frac(U1+U2) sigue también una distribución U(0,1). 
Demostración: 
Como U1, U2 son independientes, entonces la variable bidimensional (U1,U2) sigue una distribución uniforme en el cuadrado [pic 20]. 

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