Vector Posicion

VECTOR DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Movimiento curvilíneo

Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando dicha partícula describe una línea que no es recta.

Supongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil.

Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

• Vector de posición.

• Vector velocidad.

• Vector aceleración.

Vector posición r en un instante t

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado en el intervalo de tiempo Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Ar entre el tiempo que ha empleado en desplazarse .

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, es decir, la secante que une los puntos P y P' de la figura.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos , , tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia .

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo , en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Vamos a determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante en un problema de geometría, tal como se ve en la figura.

1. Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

2. Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

3. Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

4. Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

5. Se determina el ángulo entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes:

DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES

Estudiaremos la derivada de una función vectorial y se establecerán algunas reglas para la derivación de sumas y productos de funciones vectoriales.

P (u) => P(u) es una funcion vectorial de la variable escalar u, es decir, el escalar u define por completo el módulo, dirección y sentido del vector .

Si representamos el vector P en un eje de cartesianas, se va a representar siempre con un mismo origen O, haciendo variar el escalar u, y el extremo de P describirá una curva en el espacio.

Dividiendo ambos miembros por Au, y haciendo tender a cero Au, obtenemos la derivada de la funcion vectorial P(u).

Suma de dos funciones vectoriales

Sean P(u) y Q(u), dos funciones vectoriales de la misma variable escalar u, la derivada de la función P + Q es:

Cómo el límite de una suma es igual a la suma de los límites de los sumandos:

Producto de una función escalar f(u) y de una función vectorial P(u) de la misma variable escalar u.

La derivada del vector fP es:

Teniendo en cuenta las propiedades de los límites de sumas y productos, la derivada del vector fP es:

Producto escalar de dos funciones vectoriales

Producto vectorial de dos funciones vectoriales

Componentes rectangulares de la derivada de una función vectorial P(u).

Descomponiendo P en sus componentes según tres ejes rectangulares fijos x, y, z, se tiene:

=> Son las componentes rectangulares escalares del vector P.

i, j, k => Son los vectores unitario de los ejes x, y , z.

La derivada de P, es igual a la suma de las derivadas de los sumandos del segundo miembro.

Los vectores unitarios i, j y k, tienen módulo constante ( igual a la unidad ) y direcciones y sentidos fijos de modo que sus derivados son cero.

Teniendo en cuenta que los coeficientes de los vectores unitarios son, por definición, las comoponentes escalares del vector dP/du, se llega a la conclusión de que las componentes rectangulares escalares de la derivada dp/du de la función vectorial P(u) se obtiene derivando las correspondientes componentes escalares de P.

Derivada temporal de un vector

Si el vector P es

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