Vibraciones Mecánicas

1 Vibraciones Mecánicas

Los sistemas mecánicos simples proporcionan un buen ejemplo de la aplicación de las ecuaciones diferenciales con

coeficientes constantes.

1.1 Preliminares

Consideremos el sistema mecánico Amortiguador-Masa-Resorte

Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleración de cualquier cuerpo rígido es

directamente proporcional a la fuerza que actue sobre él e inversamente proporcional a la masa del curpo, es decir

F = ma

Haciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modelo

nos damos cuenta de que sobre dicha masa actuan tres fuerzas: la fuerza del resorte ( FR), la fuerza del amortiguador

( FR) y posiblemente alguna fuerza externa (peso, fricción, etc).

Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las furezas tanto del resorte como del amortiguador

Elemento Modelo

Resorte

FR = k (y2 − y1)

Amortiguador

FA = b (y02

− y01

)

1

donde k es la constane del resorte y b es la constante de amortiguamiento.

Atendiendo a lo anterior y apoyados en la segunda ley de Newton del movimiento, tendremos pues que si queremos

analizar el desplazamiento vertical de la masa el modelo matemático que lo describe se obtiene como sigue

ma = XF

ma = FE − FR − FA

como

FR = ky

FB = by0

a = y00

entonces

ma = FE − FR − FA

my00 = FE − ky − by0

my00 + by0 + ky = FE

donde m, k y b son constantes y FE es una fuerza externa (exitación del sistema). La anterior es una ecuación

diferencial lineal con coeficientes constantes no homogenera en general. En caso de que FE = 0 se dice que es un

movimiento libre mientras que si FE 6= 0 se habla de un movimiento forzado.

Comenzaremos a analizar este sistema desde su forma más simple hacia lo más coplejo: primero movimientos

libres y después forzados.

1.2 Movimiento Libre

Si el modelo matemático para un sistema mecánico simple es

my00 + by0 + ky = 0

se habla de movimiento libre, además si se tiene que el sistema carece de amortiguamiento (b = 0) - la fricción

se puede ver como un tipo de fuerza de amortiguamiento - entonces se habla de un sistema no amortiguado o de

movimiento libre no amortiguado; en caso contrario (b 6= 0) se habla de movimiento libre amortiguado.

1.2.1 Movimiento Libre No Amortiguado

Consideraremos un sistema mecánico el cual experimenta un movimiento libre no amortiguado como el que se describe

a continuación

Situación Modelo

my00 + ky = 0

y (0) = y0

2

Un problema de valor inicial asociado considera el estiramiento del resorete por debajo o por encima de la línea

de equilibrio estático (ver gráfico).

Para hacer análisis de este sistema definieremos ω0 = qk

m por lo que el modelo del sistema toma la forma

my00 + ky = 0

y00 +

k

m

= 0

y00 + ω20

y = 0

resolviendo esta ecuación

y00 + ω20

y = 0 (1)

m2 + ω20

= 0

m = ±ω0i → ½ α = 0

β = ω0

y = A cos (ω0t) + B sin (ω0t) (2)

Aunque esta es la solución general de la ecuación, hay una forma alternativa de presentarla que proporciona más

infomación respecto del comportamiento del sistema que la que ésta nos da. Al tener una suma de funciones seno

y coseno con la misma frecuencia y amplitudes distintas, la suma de ella es una función sinusoidal con la misma

frecuencia pero con un desfasamiento y con amplitud diferente.

Para lograr nuestro objetivo consideraremos las siguientes relaciones

C = √A2 + B2

cos α = A

C

sin α = A

C

para calcular el valor del ángulo α es necesario calcular tan−1 ¡B

A ¢. La forma natural del la tangente, considera valores

angulares solo entre −π

2 < x < π

2, mientras que α tiene valores desde 0 hasta 2π. Para ver cual es el comportamiento

del ángulo respecto de los valores de A y B tenemos que

α = 

tan−1 ¡B

A ¢ (A > 0, B > 0) primer cuadrante

π + tan−1 ¡B

A ¢ (A < 0) segundo y tercer cuadrante

2π + tan−1 ¡B

A ¢ (A > 0, B < 0) cuarto cuadrante

Si multiplicamos el lado derecho de la ecuación (2) por C

C tendremos que

y (t) = C µA

C

cos (ω0t) +

B

C

sin (ω0t)¶

y aprobechando las identidades cos α = A

C y sin α = B

C , reescribimos la función anterior

y (t) = C (cos (α) cos (ω0t) + sin(α) sin(ω0t))

Ahora como cos (A ± B) = cos(A) cos (B) ∓ sin (A) sin(B) es entonces posible escribirla como

y (t) = C cos (ω0t − α)

3

donde

C Amplitud de la onda

ω0 Frecuencia angular (natural)

α Angulo de fase (desfasamiento)

lo que nos representa la oscilación del resorte al rededor de la posición de equilibrio. A este tipo de movimiento se

le conoce como movimiento armónico simple.

Un par de conceptos importanes de este fenómeno son los siguientes:

• Periodo ( T = 2π

ω0

): es el tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilación completa.

• Frecuencia ( f = 1

T ): mide el número de ciclos completos por segundo (Hertz-Hz)

Ejemplos Resueltos

Example 1 Determine el periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple de una masa de 4kg en el extremo

de un resorte con constante k = 16N

m . Determine también la función que describe la posición de la masa si el resorte

se aplasta 20 cm por encima de la posición de equilibrio y parte del reposo.

Solution 2 De los datos

4y00 +16y = 0 y (0) = −0.2m, y0 (0) = 0

m

s

Resolviendo

y00 +4y = 0

m = ±i2 → ½ α = 0

β = 2

y (t) = A cos (2t) + B sin (2t)

De aquí que

ω0 = r16

4

= 2

T =

2π

ω0

= π

f =

1

π

Para la ecuación del movimiento

y (0) = −0.2

A = −0.2

y0 (0) = 0

B = 0

4

C = q(−0.2)2 = 0.2

α = tan−1 (0) = 0

por lo que

y (t) = −0.2 cos (2t)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 1 2 3 4 t

Example 3 Un cuerpo con

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