Apunte de Análisis Matemático

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Unidad I: Números Reales y Funciones

Conjunto de números reales (): El conjunto de los números reales está  formado por los números racionales  y los irracionales . Es decir: .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Valor absoluto de un número real: Definición:

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Propiedades:[pic 8]

1. [pic 9]
2. [pic 10]
3. [pic 11]
4. [pic 12]
5. [pic 13]
6. [pic 14]
7. [pic 15]
8. [pic 16]
9. [pic 17]

Intervalos: Siendo [pic 18]

Intervalo Cerrado: [pic 20][pic 19]

Intervalo Abierto: [pic 22][pic 21]

Intervalo Semiabierto a derecha: [pic 24][pic 23]

Intervalo Semiabierto a izquierda: [pic 25]

Intervalos con los símbolos  y :[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 26][pic 27]

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Amplitud de un intervalo: Se define como la diferencia entre el extremo superior y el extremo inferior.

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Cotas:

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Extremo Superior o Supremo: Es la menor de las Cotas Superiores.

Extremo Inferior o Ínfimo: Es la mayor de las Cotas Inferiores.

Elemento Máximo: Es el Supremo, si pertenece al Conjunto.

Elemento Mínimo: Es el Ínfimo, si pertenece al Conjunto.

Entorno: Un entorno es un caso especial de intervalo abierto que posee un centro  y un radio . Es decir:[pic 38][pic 39]

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Gráficamente:[pic 41]

Entorno Reducido: Es un entorno en el cual se excluye el centro. Es decir:

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Gráficamente:[pic 43]

Punto Interior: Si  es un conjunto de puntos de la recta real, un punto  es punto interior al mismo si y solo si existe un entorno de  totalmente incluido en .[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

 es un Punto Interior de [pic 48][pic 49]

Punto de Acumulación: Si  es un conjunto de puntos de la recta real, un punto  es punto de acumulación de  si a todo entorno reducido de  pertenece por lo menos un punto de .[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

 es Punto de Acumulación de [pic 55][pic 56]

O bien: [pic 57]

Función: Definición:

 es una función de  en  sí y sólo si es un subconjunto de  que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

Existencia: [pic 62]

Unicidad: [pic 63]

Analíticamente:

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Gráficamente:

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Características:

1. Elementos distintos del dominio pueden tener la misma imagen.
2. Existen elementos en el rango que no son imagen de ningún elemento.

Clasificación de funciones:

Función Inyectiva: Una función  es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas.[pic 66]

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Función Sobreyectiva: Una función  es sobreyectiva cuando el conjunto imagen coincide con el rango. Es decir, todo elemento del rango es imagen, por lo menos, de un elemento del dominio.[pic 68]

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Función Biyectiva: Una función  es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.[pic 70]

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Composición de funciones: Definición:

Dadas dos funciones  y , se llama función compuesta  a la función definida por  y existe siempre que .[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

La condición  es necesaria y suficiente para definir .[pic 77][pic 78]

Gráficamente:

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Función Inversa: Se llama función inversa de una función biyectiva a  a la función[pic 80]

  si y solo si .[pic 81][pic 82]

Teorema: La función  admite función inversa si y solo si es biyectiva.[pic 83]

Funciones pare e impares:

Función par: Una función es par sí y sólo si [pic 84][pic 85]

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de ordenadas.[pic 86]

Función impar: Una función  es impar si y solo si [pic 87][pic 88]

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.[pic 89]

Funciones monótonas:[pic 90]

1.  es estrictamente creciente [pic 91][pic 92]

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1.  es creciente [pic 104][pic 105]

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1.  es estrictamente decreciente [pic 115][pic 116]

1.  es estrictamente decreciente [pic 117][pic 118]

Función periódica:

Una función  es periódica, de periodo  ,si se verifica: [pic 119][pic 120][pic 121][pic 122]

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Clasificación de funciones:

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Funciones algebraicas:

Función racional entera o polinómica: La Función Polinómica es toda expresión de la forma:

, donde  es diferente de cero.  son números reales y se denominan coeficientes de la función,  es el coeficiente principal,  es el coeficiente del término independiente;  es el grado de la función.[pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139]

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