ECUACIÓN DE EULER EN CASOS ESPECIALES

ECUACIÓN DE EULER EN CASOS ESPECIALES

Minimizar:

En forma general

Resolviendo se tiene que la ecuación de Euler es:

Alternativamente tenemos.

 Es una ecuación especial que se debe útil.izar cuando la función intermedia solo  depende de la  primera diferencial.

Entonces es evidente eestacondicon obligatoriamente.

Si la función de la primera diferencial es difrente a cero, se deduce que la función intermedia es no lineal, con respecto a la primera diferencial  porquesde lo contrario  su segunda derivada  con respecto a la primera diferencdial no seria cero. Además la función  si la función intermeedia depende solo  de la segunda diferencial  y s no lineal , su solución  de estado será la función la funcioinlineal  con respecto a la priemras diferencial, es decir ………..

CASO II. Cuando

Si la segunda  di8ferencia de lka función  de y  entonces  se deduce que no es lineal con respecto a t.

Además   si entonces la función es lineal con respect a la variación de Y, porque si fuera linbeal  la segunda derivada coinrespecto a  será igual a cero y nop se cumplirá la condición.[pic 1][pic 2]

Si la fujncion intermedia depende de la variación  y es lineal con respecto a , la solución será una función no lineal con respecto a la variación de Y.[pic 3][pic 4]

Entonces la función general será

[pic 5]

Conclusión:

a.-  si la función intermedia es lineal con  respecto a la , entonces la  solución será  de tipo no lineal.[pic 6]

b.-si lafunciónintermediano lineal  con respecto a , entonces  la solución será de tipo lineal[pic 7]

ejemplo:

minimizar   [pic 8]

s. a.

va ser igual a

aplicando condiciones

condición inicialk

la extremalserá

entonces la distancia minima es:

el valor minimo que tomara la funcional de “D” al recorrer la trayectoria es de 23.19.

 CONDICONES DE TRANSVERSALIDAD. - Para resolver n el problema de control optimo ante una ausencia del valor inicial y/o  valor final  bde la senda optima es n veces . contar con otra condición inicial denominado  condición de transversalidad

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Dependiendo de la condición final o terminal  entonces se tendrá los siguientes casos:[pic 12]

CASO I: valor terminal fijo y horizonte temporal fijo.

Si  es fijo  entonces  =0[pic 13][pic 14]

Si       [pic 15]

Si       [pic 16]

Incorporando 2 y 3 en 1

[pic 17]

Esto significa que implícitamente la condición de transversalidad se satisface automáticamente.

Por tanto para hallar la dinámica de estado bastara utilizar la condición inicial y final   dadas  en el problema.

CASO II.  Valor terminal fijo y horizonte temporal fijo

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