Algebra Evidencia de Aprendizaje Unidad 2

Algebra

Evidencia de Aprendizaje Unidad 2

Profesor: Sandra María Armida Macías Luevano

José Armando López de la O

14/02/2012

ApartirdelanálisisquerealizastedelproblemaydelocomentadoenelforoPlanteamientodelproblema, efectúen lo siguiente:

•Construyan un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problemay representen el sistema mediante su forma matricial.

De acuerdo con la nota proporcionada por la Profesora:

“Supón que el total utilizado de la sustancia 1 es de 6 vasos”,

“Supón que el total utilizado de la sustancia 2 es de 9 vasos”,

“Supón que el total utilizado de la sustancia 3 es de 7 vasos”,

Queda por especificar el volumen del 3er contenedor que fijaremos en 8 litros.

Realizo matriz para calcular los valores que faltan para generar el sistema de ecuaciones:

Sustancia 1 Sustancia 2 Sustancia 3 Totales en litros

2 2 1 4.5

4 6 3 12

0 1 3 8

6 9 7 24.5

Una vez obtenidos todos los valores, las ecuaciones quedarían de la siguiente manera:

2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5

4S1 + 6S2 +3S3 = 12

0S1 + 1S2 + 3S3 = 8

Por lo tanto se representaría matricialmente de la siguiente manera:

A = (■(2&2&1@4&6&3@0&1&3))b=(█(4.5@12@8))

Como resultado es la siguiente matriz aumentada

A|b =(■(2&21&⋮4.5@4&63&⋮ 12@0&13&⋮ 8))

2.Propongan un arreglo matricial para alguno de los ejemplos que se han visto durante el estudio de la unidad (eldelacontaminaciónambiental,eldelabacteria,etc.)yqueseandesuáreadeestudio.Ejemplifiquencómo utilizarían en ese caso las operaciones de matrices.

Creación de ejemplo:

Manejemos un caso hipotético en el que un investigador desea conocer los residuos tóxicos resultado de la reacción de la combinación de 3 gases en la atmosfera .para ello realizo 3 pruebas con diferente cantidades de cada uno de los gases (medidas en volumen de gases) del resultado solo capturo los mg de residuos toxico, por lo que desea conocer el peso de los gases que interviene en cada una de las pruebas.

Hipotéticamente las pruebas se llevaron a cabo de la sig. Manera:

Prueba 1: se mezclaron 2 volúmenes de Gas1 +7 volúmenes de Gas2 + 4 volúmenes de Gas3 obteniéndose un total de 5mg de residuos tóxicos

Prueba 2: se mezclaron 4 volúmenes de Gas1 +7 volúmenes de Gas2 + 2 volúmenes de Gas3, obteniéndose un total de 6 mg de residuos tóxicos.

Prueba 3: se mezclaron 7 volúmenes de Gas1 +2 volúmenes de Gas2 + 4 volúmenes de Gas3, obteniéndose 5.5 mg de residuos tóxicos

Identificando los gases:

Al gas número 1 lo llamaremos G1

Al gas número 2 lo llamaremos G3

Al gas número 3 lo llamaremos G3

El sistema de ecuaciones quedará así:

2G1 + 7G3 + 4G3 = 5 Mg

4G1 + 7G3 + 2G3 = 6 Mg

7G1 + 2G3 + 4G3 = 5.5 Mg

El arreglo matricial seria:

A =(■(2&7&4@4&7&2@7&2&4)) b=(█(5@6@ 5.5))

Ahora supongamos que en este ejercicio además el investigador quisiera demostrar los efectos por residuos tóxicos si se utilizara las misas cantidades de gases por la misma cantidad de pruebas en un segundo ejercicio es decir 2 pruebas en las mismas condiciones.

Tendría que multiplicar por un escalar 2 la matriz ya calculada

O si quisiera medir los efectos de los restantes contaminantes existente tendría que sumar las matrices, correspondientes.

Método de Gauss:

RetomalosresultadosdelaActividad2:Representaciónmatricial,mismosquepublicaronenlabasede datos y resuelve el problema por el método de Gauss.

2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5

4S1 + 6S2 +3S3 = 12

0S1 + 1S2 + 3S3 = 8

Primero generamos la matriz ampliada derivado del sistema de ecuaciones:

A = (■(2&2 1&4.5@4&6 3&12@0&1 3&8))

A = (■(2&2 1&4.5@4&6 3&12@0&1 3&8)) F2 – (2) F1 F2

(■(2&2 1&4.5@0&2 1&3@0&1 3&8)) (2)F3 – F2 F3

Por lo tanto la matriz escalonada es la siguiente:

(■(2&2 1&4.5@0&21&3@0&0 5&13))

Se despeja z

5z =13 z =13/5z= 2.6

Despejando z

2y +z= 3 2y+2.6= 3 Y=(3-2.6)/2 =( 0.4)/2Y=0.2

Despejando x

2x+2y+z= 4.5 2x+2(0.2)+2.6=4.5 X=(4.5-2(0.2)-2.6)/2

X=(4.5-0.4-2.6)/2 X= 0.75

Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera

Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 0.2 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 2.6 litros

CompruebatusresultadosporalgunodelosmétodosquesecomentaronenlaActividad1.Foro:Planteamiento del problema.

Sistema de ecuaciones:

2X + 2Y + Z = 4.5

4X + 6Y + 3Z = 12

1Y + 3Z = 8

Procedemos a una solución alternativa solicitada:

Despejamos Z de ecuación 1

Z = 4.5 – 2X – 2Y

Sustituimos el valor obtenido en la ecuación 2 y 3

4X + 6Y+ 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 12………. (2)

Y + 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 8………………. (3)

4X+ 6Y+ 13,5 -6X – 6Y =12…… (2)

Y + 13,5 -6X -6Y =8………. (3)

-5Y- 6X + 13.5 =8

-2X + 13.5 = 12

-5Y- 6X = 8 – 13.5

-2X =12 – 13,5

-5Y- 6X = -5.5

-2X =12 – 13,5

-5Y = - 5.5+ 6(0.75)

X = 1.5/2 -5Y= -5.5 + 4.50

-5Y= -1

X= 0.75

Y= 1/5

Y = 0.2

Z = 4.5 – 2X – 2Y

Z= 4,5 - 2(0.75)- 2(0.2)

Z=4.5 - 1.50 - 0.4

Z= 2.6

...