DISTRIBUCI´ON BINOMIAL Y DISTRIBUCI´ON NORMAL

Cap´ıtulo 3

DISTRIBUCI´ON BINOMIAL Y

DISTRIBUCI´ON NORMAL

3.1. Introducci´on

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad m´as importantes y que son

imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estad´ıstica. La distribuci´on

binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que s´olo pueden

tomar un n´umero finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza,

1654-1705), qui´en escribi´o el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El

arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matem´aticos m´as importantes de la

historia. La distribuci´on normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en multitud

de fen´omenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de los

m´as famosos matem´aticos de la historia. La gr´afica de la distribuci´on normal en forma de campana se

denomina Campana de Gauss.

3.2. La distribuci´on binomial o de Bernoulli

La distribuci´on binomial est´a asociada a experimentos del siguiente tipo:

- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos s´olo la posibilidad de ´exito o

fracaso.

- La obtenci´on de ´exito o fracaso en cada ocasi´on es independiente de la obtenci´on de ´exito o

fracaso en las dem´as ocasiones.

- La probabilidad de obtener ´exito o fracaso siempre es la misma en cada ocasi´on.

Ve´amoslo con un ejemplo

Tiramos un dado 7 veces y contamos el n´umero de cincos que obtenemos. ¿Cu´al es la probabilidad

de obtener tres cincos?.

Este es un t´ıpico ejemplo de distribuci´on binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento

de lanzar un dado. ¿Cu´al es nuestro ´exito?.

Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.

El fracaso, por tanto, ser´a no sacar 5, sino sacar cualquier otro n´umero.

Por tanto, ´Exito = E = “sacar un 5” =⇒ p(E) =

1

6

Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒ p(F) =

5

6

Para calcular la probabilidad que nos piden, fij´emonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y

por lo tanto tenemos 3 ´exitos y 4 fracasos, ¿de cu´antas maneras pueden darse estas posibilidades?.

Podr´ıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF

Pero tambi´en podr´ıamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cu´antas

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CAP´ITULO 3. DISTRIBUCI´ ON BINOMIAL Y DISTRIBUCI´ ON NORMAL 39

maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 ´exitos. Recordando las t´ecnicas combinatorias, este problema

se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:

P3,4

7 =

7!

3! · 4!

=

7 · 6 · 5

3 · 2 · 1

= 35formas

Y por tanto, como p(E) =

1

6

y tengo 3 ´exitos y p(F) =

5

6

y tengo 4 fracasos:

p(tener 3 ´exitos y 4 fracasos) = 35 · 1

6

· 1

6

· 1

6

· 5

6

· 5

6

· 5

6

· 5

6

= 0
0781

Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de ´exito

1

6

,

la probabilidad de obtener 3 ´exitos es 0’0781, y lo expresar´ıamos:

Bin

7;

1

6



, entonces p(X = 3) =0
0781

Como repetir este proceso ser´ıa bastante penoso en la mayor´ıa de los casos, lo mejor es recurrir a la

siguiente f´ormula que expresa la probabilidad de obtener cierto n´umero de ´exitos en una distribuci´on

binomial:

Definici´on de distribuci´on binomial:

Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´exito, E, con probabilidad p y

fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribuci´on binomial de

par´ametros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´exitos

viene dada por:

p(X = k) =

n

k



· pk · q(n−k)

Nota:

Observar que las probabilidades de ´exito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =

1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

Ejemplo:

Antes ten´ıamos Bin

7;

1

6



, y quer´ıamos calcular p(X=3) (obtener 3 ´exitos). Aplicando la f´ormula:

p(X = 3) =

7

3



·

1

6

3

·

5

6

4

= 0
0781

Ejemplo:

Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la

probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

En este caso ´Exito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5.

Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5.

Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2).

Si aplicamos la f´ormula es:

p(X = 2) =

6

2



· (0
5)2 · (0
5)4 = 0
2344

Nota:

La elecci´on de ´exito o fracaso es subjetiva y queda a elecci´on de la persona que resuelve el problema,

pero teniendo cuidado de plantear correctamente lo que se pide. En el caso concreto del ejemplo

anterior, si:

´Exito =

“

tener hija”, como nos piden la probabilidad de que una familia con 6

hijos tenga 2

hijos,

si el ´exito es tener hija hemos de plantearnos cu´al es la probabilidad de tener 4 ´exitos (4 hijas), es

CAP´ITULO 3. DISTRIBUCI´ ON BINOMIAL Y DISTRIBUCI´ ON NORMAL 40

decir:

p(X = 4) =

6

4



· (0
5)4 · (0
5)2 = 0
2344

Evidentemente sale lo mismo, pero hay que ser consecuente a la hora de elegir el ´exito y el fracaso y

la pregunta que nos hagan.

3.2.1. El uso de las tablas de la distribuci´on binomial

La distribuci´on binomial se encuentra tabulada por lo que es f´acil calcular probabilidades sin

necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribuci´on binomial es necesario

conocer:

- El n´umero de veces que se realiza

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